數學直觀思維及其培養

摘要:傳統的數學教學中，教師往往比較重視學生邏輯思維能力的培養，而忽略了對學生數學直覺思維能力的培養。其實，數學直覺思維也是一種很重要的思維形式。文章對數學直覺思維的概念及其培養途徑作了一些探討。

關鍵詞:數學 直覺思維 作用 培養

數學思維具有實驗、猜想、想像、直覺、靈感等特點。對于學生來說，數學學習是一個再創造的過程。這個過程要求學生除了必須具有一定的邏輯推理能力外，更需要具有非邏輯推理能力?？梢娢覀冊谧⒅剡壿嬎季S能力培養的同時，還應該注重觀察力、直覺力、想像力的培養。特別是直覺思維能力的培養，由于長期得不到重視，學生在學習的過程中對數學的本質容易造成誤解，認為數學是枯燥乏味的，同時對數學的學習也缺乏取得成功的必要信心，從而喪失數學學習的興趣。過多地注重邏輯思維能力的培養，不利于思維能力的整體發展。培養直覺思維能力是社會發展的需要，也是現代社會對人才的需求。

一、數學直覺思維

（1）數學直覺思維的概念及其特征

簡明地說，數學直覺思維就是人腦對數學對象及其結構關系的一種迅速的判斷與敏銳的想象。[1]人在進行思維時，存在著兩種不同的方式。一種是邏輯思維。在數學上，它是對命題的分析、推理和證明的過程，是數學思維主要的成分，也是數學學習中常用的思維。另一種就是直覺思維。從表面上看，直覺思維的進行沒有依據某種明確的邏輯規則，結論的得來也沒有經過嚴密的推理，帶有一定程度的猜測性、預見性，實際上具有非邏輯性。

與邏輯思維相比，數學直覺思維具有跳躍性、快速性、綜合性、或然性、創造性等特征。

（2）數學直覺思維的表現形式

①直覺的啟發

直覺的啟發是指研究者沉思于某一數學課題，既沒有在頭腦中檢索到相應的“數學知識”，又沒有憑借自己的想象力組合成什么有用的結果，思路堵塞了；思維的主體長期沉思于這個問題，各種想法在腦際中無序地運動，相互作用，心理意象處于混沌狀態，幸運的突變遲遲沒有產生，又沒能借助于想象力獲得什么有用的結論。然而在某一時刻，在他思考的問題圈子之外，甚至是一個遙遠之外傳來的信息倒起到了巨大的誘發作用，使得在潛意識層面上的各種已有知識一瞬間就達到了最恰當和最優化的聯系方式，思路又接通了，問題取得了實質性的突破。

②直覺的想象

直覺的想象是指思維的主體把尚處于混沌狀態下的知識重新隨意地加以組合。這種組合沒有固定的邏輯格式，它具有跳躍性、快速性、綜合性、或然性、創造性，是對眼前研究的數學對象的一種有結論性的判斷。它造成一種新的聯系，以彌補外界所獲得的信息的空白，并直接地顯示出來，直覺的想象這種形式表明，數學直覺思維是以數學研究中的形象思維和抽象邏輯思維為前提的。

③直覺的判斷

直覺的判斷是指思維的主體對數學對象及其結構的一種迅速敏銳的識別、直接的本質理解、綜合的整體判斷，是一種飛躍式的思維方式，這是數學直覺思維最為基本的表現形式。直覺的判斷這種直覺思維形式表明，思維者是用高度簡縮的結構進行思維的。這種思維過程的實質，就是根據當前問題的相似性，在頭腦中迅速檢索到原先儲存著的數學知識，進行簡單的拼接與組合，直接地判斷自己所面臨的學課題屬于何種類型，應當采取什么方法去解決，這種直覺判斷有賴于對整個形勢的整體估計。

二、數學直覺思維在數學學習中的作用

（1）在數學理解中的作用

數學理解包括理解數學概念、數學結論的本質，人們常憑借經驗，加上直覺思維的輔助作用，在頭腦中構造圖景和模型，以達到對概念、結論的理解。例如，學習數學歸納法時，先向學生提供“多米諾”骨牌的游戲模型：只要推倒第一塊骨牌，第二塊骨牌就會倒下，接著第三塊骨牌會倒下，……傳遞的結果，是所有的骨牌都會倒下。通過提供具體的“遞推”的模型，誘發直覺思維的產生，接著介紹數學歸納法時，學生便借助直覺思維直接領悟其原理。

（2）在數學問題解決中的作用

我們面臨的要解決的許多數學問題，大都是不熟悉的，剛一接觸，首先看到或想到的只是它的直觀形象與個別特征，如圖形、式子或其含義的直觀類比，利用直觀模型和空間圖形對它進行直覺的思考，從數與形的直覺感知中得到某種猜想，然后再進行邏輯證明。

（3）在數學發現活動中的作用

①選擇的功能。

“在數學領域或其他領域中，發現或發明都是以新思想組合的方式進行的。這種組合的數目無窮無盡，但其中絕大部分卻沒有什么用處，只有極小一部分才是有效的”。發明創造就是排除那些無用的組合，保留極少的有用的組合，因此我們可以說：發明就是辨別，就是選擇。[2]這種選擇能力的基礎就是“數學直覺”，而數學直覺的本質就是某種“美的意識”或“美感”。學得的數學知識越多，“數學美”的直覺意識就越強。正是這種意識能幫助人們去選取數學觀念間的最佳組合，從而形成新的數學思想或概念。

②尋找事物聯系的功能。

在數學活動中，人們在邏輯思維行之無效的時候，往往還能使用直覺找到事物的聯系。正是這種聯系功能，直覺能幫助我們從不認識的新事物中，提煉“物理圖象”或形成“工作簡圖”。這是認識物質世界關鍵的一步，有了它，才可能形成新的概念進行數量分析、建立方程式求解。這一關鍵的步驟很少能用邏輯思維完成，它需要直覺。

③預見與預測的功能。

在數學發展史上，有相當多的猜測是既非類比又非歸納的產物，與各種已知定理也無關系。數學家們憑直覺認為事情就應該如此，這種猜測有許多后來被證明是正確的。例如，康托曾憑直覺猜測，在可數集基數從與實數集R的基數C之間沒有其他的基數，這就是著名的康托連續統假設。

④創新的功能。

愛因斯坦說過：“要達到關于知識的理論，不可能通過對邏輯性的思維和思辯進行分析，而只能通過對經驗的觀察資料進行考察和直覺的理解。”這是說，任何新的知識理論，都不是現有知識理論的邏輯演繹的必然性產物，它對有知識理論是一種突變、創新，這種創新要靠直覺思維來實現。

三、數學直覺思維的培養途徑

一個人的數學思維、判斷能力的高低主要取決于直覺思維能力的高低。徐利治教授指出：“數學直覺是可以后天培養的，實際上每個人的數學直覺也是不斷提高的。”數學直覺是可以通過訓練提高的。

（1）掌握扎實的基礎知識

數學問題的真正獲解離不開邏輯思維。雖說直覺思維可以迅速縮小思考范圍，并能較快確定思路，然而要真正驗證思路的正確性，還必須用邏輯推理給予證明。因此，要提高直覺思維能力，就必須打下堅實的基礎，理解和掌握數學學科的基本結構和豐富的專業知識。

（2）充分揭示數學的思維過程

如果僅僅停留在直覺思維的結論是否正確上，就很難使學生很好地實現對數學的把握。因此教師應引導、幫助學生用邏輯分析的方法復原直覺思維過程，把直覺思維過程中模糊的、跳躍的地方清晰地展示出來并加以完善，從理論的高度進行概括、總結。同時使學生意識到直覺思維不是從天上掉下來的，也不是人頭腦中固有的，它以一定的知識和推理作基底，沒有基礎知識的積淀和基本能力的儲備，企圖靠感知便一蹴而就的想法是不切合實際的。

（3）培養敏銳的觀察能力

如果沒有敏銳的觀察力，就不能抓住問題的實質，就不能捕獲到對開展直覺思維至關重要的信息。

（4）培養猜測能力

猜想和猜測是直覺思維的重要形式，牛頓說：“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發現?！辈孪胧桥囵B直覺思維的重要途徑。首先要讓學生對問題解決方案進行大膽猜想和假設，鼓勵學生對問題的解決提出新方法、新思路。在教學中，可將一些問題的結論暫不指出，讓學生通過觀察、聯想、類比等方法，憑直覺進行數學猜想。學生直覺猜測多次結論錯誤，會失去信心，教師除了及時因勢利導，解除學生心中的疑惑外，還應經常介紹一些數學家運用直覺思維成功和失敗的實例，如陳景潤的“哥德巴赫猜想”，使學生樹立運用直覺思維的自信和勇氣，幫助學生修正猜想，得出正確結論，使學生對自己的直覺產生成功的喜悅感。

（5）加強選擇題的訓練[3]

選擇題的答案只要求從四個選擇之中挑選出來，省略解題過程，容許合理的猜想，有利于直覺思維的發展。實施開放性問題教學也是培養直覺思維的有效方法。

（6）加強開放題的訓練[3]

開放性問題的條件或結論不夠明確，可以從多個角度由果尋因，由因索果，提出猜想，答案的發散性有利于直覺思維能力的培養。

（7）增強數學美的鑒賞能力，提高審美情趣

數學對象及其相互關系之間是對立統一的、和諧的，有些時候還會在結構、關系方面存在對稱性，即具備數學美，因此提高審美能力有利于增強對數學對象及其相互關系的直覺意識，審美能力越強，則數學直覺能力也越強。

數學直覺思維能力的培養是數學教學中容易被忽視但又非常重要的實踐內容。教師應該充分認識數學直覺能力對于創造性思維發展的意義和作用，在數學教學中注意培養學生的數學直覺能力。

參考文獻：

[1]胡炯濤.數學教學論[M].南寧：廣西教育出版社，1996.12.

[2]王子興.數學方法論——問題解決的理論[M].長沙：中南工業大學出版社，1997.7.

[3]郭向麗.淺談數學直覺思維及培養[J].中國校外教育，2007，（3）.