活用數學法 巧解物理題

摘要： 數學是物理研究的基礎學科，數學學科的研究思想、研究方法為物理學提供了堅實可靠的指導。筆者在物理教學中注意融入數學思想、數學方法，形成了一些操作性強、適用性廣的解題方法，在此加以歸納，與同仁共享。

關鍵詞： 數學 數學方法 數學思想 物理教學 解題方法

當今科技發展日新月異，新理論、新方法、新的學科門類層出不窮，學科間知識的相互融合、解題方法的相互滲透越來越明顯。數學是物理研究的基礎學科，數學學科的研究思想、研究方法為物理學提供了堅實可靠的指導。高中物理新《考試說明》提出，學生要能根據物理問題的實際情況和所給條件，恰當運用數學方法進行分析、表達。

物理教學中，筆者注意融入數學思想、數學方法，形成了一些操作性強、適用性廣的解題方法。

一、應用圖象法

圖象是一種特殊且形象的數學語言工具，它可以直觀地反映某一物理量隨另一物理量變化的函數關系，形象地描述物理規律。用圖象法解物理題不但迅速、直觀，還可以避免復雜的運算過程。

二、應用整體法

在利用物理公式列方程求解問題的過程中，有時會顯示未知數個數多于方程個數，無法逐個解出每個未知量，或即使方程個數足夠，但運算相當繁瑣的情況。此時，所求量與已知量的一個整體有關，可考慮用整體法求解。

例2有兩只電壓表A和B，量程已知，內阻未知，另有一節干電池，它的內阻不能忽略，且大小未知，只用這兩只電壓表、開關和一些連接導線，要求通過測量計算出干電池的電動勢（已知電動勢不超過電壓表的量程）。

（1）畫出測量時所用的電路圖；

（2）以測量得的量作為已知量，導出計電動勢的表達式。

解：將一只電壓表與電源串聯，電壓表的示數U ，再將兩只電壓表與電源串聯，兩只電壓表示數為U ＇、U ＇。

設A、B表的內阻R 、R ，

兩個方程，三個未知數，按常規解法不易求解，可考慮用整體法。 看作一個未知量，解得E= 。

三、應用幾何法

利用幾何法解物理習題時，常用到的是對稱點的性質、三角形邊角關系，三角形相似，圓的特點和性質等。

1. 應用三角形知識

例3一輕繩繞過無摩擦的兩個輕質小定滑輪O 、O 和質量m ＝m的小球連接，另一端與套在光滑直桿上質量m ＝m的小物塊連接，已知直桿兩端固定，與兩定滑輪在同一豎直平面內，與水平面的夾角θ＝60°，直桿上C點與兩定滑輪均在同一高度，C點到定滑輪O 的距離為L，重力加速度為g，設直桿足夠長，小球運動過程中不會與其他物體相碰。現將小物塊從C點由靜止釋放，試求：

（1）小球下降到最低點時，小物塊的機械能（取C點所在的水平面為參考平面）；

（2）小物塊能下滑的最大距離；

（3）小物塊在下滑距離為L時的速度大小。

小結：受思維定勢的影響，一般學生都認為C下降，m 上升，而此題C下降，m 也下降，是出乎學生預料的，說明解物理題畫圖是關鍵，應用所學知識綜合分析是解題的重要途徑。

2. 應用圓的特點和性質

例4電視機的顯像管中，電子束的偏轉是用磁偏轉技術實現的。電子束經過電壓為U的加速電場后，進入一圓形勻強磁場區。如圖，磁場方向垂直于圓面，磁場區的中心為O，半徑為r，當不加磁場時，電子束將通過O點而擴到屏幕的中心點M，為了能讓電子束射到屏幕邊緣P，需加磁場，使電子偏轉一已知角度θ，此時磁場區磁感應強度B應為多大？

解析：電子在磁場中沿圓弧ab運動，據圓的特點偏向角等于圓心角，圓心為C，半徑為R，以v表示進入磁場的速度，m、e表示電子的質量、電量，則：

四、應用微元法

功的計算公式W＝FScosα僅適用于恒力做功，如何求變力做功，可用微元法，將運動軌跡分成許多小段，求出每小段上力做的功，其代數和即為整個路徑上的總功。

例5如圖所示，某個力F＝10N作用于半徑為R＝1m的轉盤的邊緣上，力F的大小保持不變，但方向保持任何時刻均與作用點的切線一致，則轉動一周這個力做的總功為多少？

解析：由于F的方向保持與作用點的速度方向一致，因此F為變力，位移為零，但做功不為零，可把圓周劃分成很多小段研究，當各小段的弧長△S 足夠小（△S →0）時，在這個△S 內F的方向幾乎與該小段的位移方向重合。

五、應用數學歸納法

例6人和冰車的總質量為M，另有一木球，質量為m，M∶m＝31∶2，人坐在靜止于水平冰面的冰車上，以速度v（相對于地面）將原來靜止的木球沿冰面推向正前方的固定檔板，球與冰面、車與冰面的摩擦及空氣阻力均可忽略不計，設球與檔板碰撞后反彈速率與碰撞前速率相等，人接住球后再以同樣的速度（相對于地面）將球沿冰面向正前方推向檔板。求人推多少次后不再能接到球。

解析：由于人推木球后，人的速度逐級變化，使得問題越來越復雜，為使問題得到解決，我們可用數學歸納法：

六、應用三解函數法

例6（課改后新教材3-4P6）如果光射入和射出玻璃的兩個平面都是平行的，射出玻璃磚的光線相對入射光線來說產生了側移。證明：入射角越大側移越大。

綜上所述，數學法在物理解題中的活用，有助于拓展學生思維的空間，豐富學生解題的方法，提高應變的能力。教學中，筆者堅持引導學生掌握“六法”，取得了較為理想的教學效果。草成“六法”，拋磚引玉。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”