讓學生積極主動有序有效地探究

江西省宜豐中學 (336300)

一、引子

師：很高興有機會和大家一起學習數學、探討數學.我是江西省宜豐中學教師，叫龔浩生.同學們聽到這個名字是否想到了數學中一個什么數?

生：3.

師：對，就是3.同學們的聯想很豐富，希望在這堂課的學習中，同學們能展開聯想、放開思維、積極探究，通過本課的學習，我希望不但能增長你的知識，也能讓你學會發現問題、提出問題、探究結論，并感受數學的發現過程與發現的樂趣.

評注：詼諧的引言，拉近了陌生師生之間的距離，給學生以親切感，為本課創設了良好的探究氛圍.同時又自然地揭示了本課的主要教學意圖.

二、引出課題

同學們已經學習了拋物線，現在我們來看拋物線y2=2px(p>0)的圖像，請同學們回顧它的焦點坐標是什么?

生：F(p2,0).

師：準線方程是什么?

生：x=-p2.

師：連接拋物線上的點與焦點的線段叫什么?

生：焦半徑.

師：焦半徑AF的長有什么公式嗎?

生：有，|AF|=x瑼+p2.

師：連接拋物線上任意兩點的線段叫拋物線的弦，特別地，經過焦點的弦又可叫什么呢?

生：焦點弦.

師：好!現在我們就一起來探究拋物線的焦點弦的性質.(板書課題：拋物線焦點弦的性質的探究)

評注：通過簡潔的回顧引出課題，既面向全體、集中了學生的注意力，又提出了本課總的思維任務，為有效的探究提出了目標.

三、代數性質的探究

師：取焦點弦AB，設A(x1,y1)、B(x2,y2)，同學們知道關于A、B兩點的坐標有什么結論嗎?

生：有y1y2=-p2,x1x2=p24.

師：這兩個結論是怎樣得到的?得到了這兩個積是定值后，你們有沒有想過和又怎樣呢?

生：上述結論可由韋達定理得出.設AB的方程為x=my+p2，代入拋物線方程y2=2px，得y2-2pmy-p2=0，所以，y1y2=

-p2，且y1+y2=2pm.

師：很好!由此看出y1、y2的和不是定值，與m有關.這里的m有什么意義嗎?

生：m是直線AB斜率的倒數.它顯然不為零.若斜率不存在，則m=0.

師：那么x1、x2的和與m有關嗎?

生：與m有關，由AB的方程得：x1+x2=m(y1+y2)+p=2pm2+p=p(2m2+1).

師：到此，關于焦點弦兩端點的坐標我們有四個重要結論，請回憶一下，這四個結論是.

生：x1x2=p24,x1+x2=p(2m2+1),y1y2=-p2,y1+y2=2pm.其中m為焦點弦的斜率的倒數.

評注：第一輪的探究以課本習題關于焦點弦兩端點的相應坐標積的結論為起點，引出相應坐標和的結論，探究步子較小，有利于學生適應探究的節奏，并為后續的探究作好鋪墊.

師：接下來再探究什么呢?

生：長度，看看焦點弦長有怎樣的公式?

評注：有了探究的情境，學生在探究了坐標的結論后，想到焦點弦的長度是很自然的，可見創設適當的探究情境有利于促進學生知識的自主建構.

師：很好，大家想想，怎樣來推導焦點弦長的公式呢?

生：可以用|AB|=1+k2|x1-x2|，其中k為斜率，|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2.

師：對.這種方法也可求一般的弦長，對于拋物線的焦點弦而言，還有更好更快的方法嗎?

評注：探究學習既要讓學生盡可能的自主建構，也要有教師的適當引導，以調整思維方向，確保探究有序有效地進行.

生：用焦半徑公式，|AB|=|AF|+|BF|=(x1+p2)+(x2+p2)=x1+x2+p.

師：這個公式用坐標很簡潔地表達了焦點弦長，還能用其它的量來表達焦點弦長嗎?

生：還可用斜率表達，由x1+x2=p(2m2+1)=p(2k2+1),可得|AB|=p(2k2+1)+p=2p(1k2+1).

師：斜率不存在時怎么辦?

生：在斜率不存在時，AB垂直于x軸，x1=x2=p2，故|AB|=x1+x2+p=2p.

師：好，再想想，焦點弦長還能用什么量表達嗎?

生：還可用傾斜角α表達，因為k=玹anα，所以|AB|=2p(1玹an2α+1)=2p玸in2α.

師：在斜率不存在時，這個公式怎么樣?

生：在斜率不存在時，α=π2,|AB|=2p,公式仍然成立.

師：對，請大家觀察焦點弦長公式，看看焦點弦長有沒有最值?

生：當α=π2時，|AB|=2p為最小值，沒有最大值.

師：這表明，焦點弦中通徑是最短的，長為2p.至此，我們得到了焦點弦長的幾個結論是 .

生：|AB|=x1+x2+p=2p(1k2+1)=2p玸in2α.

評注：第二輪的探究到此稍作停頓.讓學生回味、整理一下新的知識點，也讓思維暫時落后的學生消化一下新知識，以利于開展下一輪的探究.所有學生的參與是形成積極主動探究氛圍的推動力.

師：注意到焦點弦AB被焦點F分為兩段AF、BF.AB的長就是|AF|與|BF|的和，可見|AF|與|BF|的和已有了公式，那么|AF|與﹟BF|的差呢?積呢?又有什么結論?

評注：通過問題的變式引導學生思考新的問題，也讓學生見識并領悟怎樣提出新的探究問題，有利于學生學會自己提出問題、探究問題.

生：|AF|-|BF|=x1-x2.

師：x1-x2=?不妨來求|x1-x2|.

生：|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=p2(2k2+1)2-p2=2pk2k2+1,故有||AF|-|BF||=2pk2k2+1.

師：很好!這是斜率存在的情況，若斜率不存在，則易知|AF|-|BF|=0.再看積呢?

生：|AF|?|BF|=(x1+p2)(x2+p2)=x1x2+p2(x1+x2)+p24=p2(1+1k2).

師：一算到底!又得到一個公式，誰有不同意見嗎?

生：老師，我把x1+x2保留不動，得|AF|?|BF|=p2(x1+x2)+p22=p2(x1+x2+p)=p2(|AF|+|BF|).

師：這個等式變成怎樣的形式更好呢?

生：哦，可變成：1|AF|+1|BF|=2p.

師：這個結論太好了!這表明通徑長的一半是|AF|與|BF|的調和平均，我們可把這個結論概括為：拋物線的通徑長的一半是焦點弦被焦點分成的兩段長的調和平均.

評注：探究積的情況時，多數學生受常規影響，一算到底，很快得到結果.只有少數能打破常規的同學，往往能發現曲徑通幽.這個調和平均結論被學生探究發現的過程，是把數學“冰冷的美麗”還原為學生“火熱的思考”的必然結果，學生為此結論的發現感到十分喜悅.可見點燃和激起學生的火熱思考，并注意挖掘學生思維的閃光點就能讓學生都欣賞到數學的冰冷的美麗.至此探究達到第一個高潮，稍作停頓，作用和前述一樣，以下幾輪亦如此，不再贅述.

四、幾何性質的探究

師：以上探究了焦點弦的代數性質.下面我們再從幾何圖形的角度來觀察探究，看能發現一些什么新的結論么?

評注：代數性質主要是數量關系的結論，幾何性質則主要是圖形關系的結論，研究了一些基本的數量關系結論后再結合幾何圖形來探究幾何性質是很自然的，也是很基本的研究方法.至此引導學生進入一個新的研究領域.

如圖，分別作出AM、BN垂直于準線，垂足為M、N，設準線與x軸交于K.看看y1y2=-p2有什么幾何意義?是不是對應了一個幾何等式?

生：因|MK|=|y1|,|NK|=|y2|,|KF|=p，又|y1y2|=p2，所以|MK|?|NK|=﹟KF|2.

師：從這個等式你能聯想到什么?

生：射影定理.

師：射影定理的條件是什么?

生：是直角三角形與斜邊上的高，連接MF、NF，應有∠MFN=90°.

師：為什么?

生：由AF=AM及AM∥FK，知∠MFK=∠FMA=∠MFA,同理∠NFK=∠NFB，所以∠MFN=∠MFK+∠NFK=12平角=90°.

評注：進入一個新的研究領域后，要適當引導學生調整思維方向，讓所有學生跟上思維步伐，這是積極主動情境形成并保持的前提，也是有序有效探究活動展開的動力.從y1y2=-p2過渡到射影定理，要讓學生結合數量關系認真觀察圖形關系，并借助圖形的直觀形象進行思維、聯想.

師：很好!現在我們知道∠MFN=90°，進一步聯想，以MN為直徑作圓可能得到什么結論?

評注：同時作出以MN為直徑的圓，給學生以直觀感知，有利于學生的探究發現及結論的記憶.

生：點F在這個圓上，圓與AB可能相切.

生：對!是相切，取MN的中點P，連接PF、PA，則PF=PM,AF=AM,△AFP≌△AMP,所以∠PFA=∠PMA=90°，即AB⊥PF，所以AB和圓相切.

師：好!請大家共同概括一般結論.

生：以拋物線的焦點弦在準線上的射影為直徑的圓和這條焦點弦相切于焦點F.

評注：盡量讓學生領悟在探究過程中怎樣不斷發現問題、提出問題，并給學生發現問題、提出問題的機會，使學生有真正身臨其境的感受，這樣才有利于讓學生真正走上探究之路.

生：以焦點弦AB為直徑作圓是不是也會與MN相切呢?(新一輪探究開始，作出圖形.)

師：同學們想想怎么探究這個問題?

生：只要看圓心到MN的距離是否等于半徑，取AB的中點Q，連接PQ，則由梯形的中位線定理得|PQ|=12(|AM|+﹟BN|)=12|AB|，且PQ⊥MN，所以，以AB為直徑的圓也與MN相切于點P.

師：怎樣概括一般結論呢?

生：以拋物線的焦點弦為直徑的圓和準線相切，切點是焦點弦在準線上的射影的中點.

師：以AB為直徑的圓和MN相切于P，這里還能得什么結論嗎?

生：有∠APB=90°.

師：還有什么相切的情況嗎?看看PA、PB!(引導學生提出新的探究任務)

生：可以看看PA、PB和拋物線是否相切?

師：判定直線與拋物線相切有什么一般方法嗎?怎樣判斷PA與拋物線是否相切?

生：有判別式法，把PA的方程代入拋物線方程后，看判別式是否為零.

師：那么PA的方程怎么得出?得出PA的方程又怎樣與拋物線方程消元?

生：用兩點式，P是MN的中點，坐標為(-p2,y1+y22)，點A的坐標是(x1,y1),PA的方程為y-y1+y22y1-y1+y22=x+p2x1+p2，與y2=2px消x得，2y-(y1+y2)y1-y2=2px+p22px1+p2=y2-y1y2y21-y1y22y-y1-y2=y2y1-y2輞2-2y1y+y21=0蕁=0，可知PA與拋物線切于點A.

師：漂亮!這一消元化簡的技巧值得大家學習.同理，PB也與拋物線相切于點B.因為拋物線上一點處的切線是唯一的，所以，我們可把結論概括為：拋物線的焦點弦兩端點處的切線垂直相交于準線上一點.

評注：三個相切關系的探究，聯系緊密、過渡自然、一環扣一環，學生的推理、運算能力得到了較好的鍛煉.至此，探究過程達到第二個高潮，學生們對這些結論的獲得感到特別的興奮，探究的樂趣越來越濃.

師：同學們再觀察圖像，對于梯形AMNB還有什么問題需要探究嗎?(作圖啟發學生思考并提出問題)

生：看看對角線的交點在那里呢?是不是原點呢?

師：這兩個問題既有區別也有聯系，誰能說說解決的思路?

生：探究交點在哪里，可以通過解方程組求出交點，再判斷.若是考慮交點是不是原點，則可看A、O、N三點是否共線?B、O、M三點是否共線?

師：好，就請大家先考慮A、O、N三點是否共線?

生：用斜率判斷，k㎡A=y1x1,k㎡N=y2-p2=2y2-p,k㎡A=k㎡N-py1=2x1y2-p2y1=2px1y2-p2y1=y21y2(y1≠0)趛1y2=-p2成立，所以A、O、N三點共線.

師：很好!同樣B、O、M三點共線，從而梯形AMNB的對角線交于原點.我們又可以概括一個一般結論：拋物線焦點弦的一個端點與另一個端點的準線上的射影及頂點共線.

評注：對幾何性質的探究，又得到好幾個新的知識鏈，連同代數性質知識鏈在內，這些知識鏈相互融通，形成有機聯系的知識網絡.如，y1y2=-p2和射影定理在梯形AMNB探究中的作用；相切的關系在幾個鏈條中的存在也把這些知識鏈有機地聯系在一起.讓知識通過探究而生成，并形成一種知識網絡，有利于學生站在系統的高度把握知識體系.

五、回顧與延伸

師：由于時間關系，本課就探究到這里.回顧本課，我們探究了拋物線焦點弦的代數性質和幾何性質，希望同學們不僅要掌握本課的一些結論，更要領悟發現問題、提出問題、探究結論的方法.其實拋物線的焦點弦還有許多性質，同學們可以在本課學習的基礎上去作進一步的探究.比如，對本課的一些結論，探究一下它們的逆命題是否成立，如：已知AO交準線于N，是否有BN垂直于準線?若已知y1y2=-p2，能否得出AB過焦點?若已知弦AB被x軸分為AF、BF，滿足1|AF|+1|BF|=2p，能否得出點F是焦點?你也可以把焦點改為另外的點，如：過點(p,0)的弦有什么性質?你還可以類比本課的方法去探究橢圓、雙曲線中的焦點弦的性質，等等.愿同學們在今后的學習中多用些探究的眼光去發現數學、去感覺數學思維的生動、美麗，這樣你的數學學習將會其樂無窮，你會變得更加聰明.

評注：進一步啟發學生如何變換問題條件或結論，得出新的探究問題；也提示學生把探究延伸下去.如果說課內的自主探究空間是有限的，那么課外的自主探究空間則是無限的，通過課內的引導、激發，點燃起學生的探究熱情，并讓這種熱情自覺地延伸到課外，學生的探究意識、創新能力將會得到積極、有效的發展.

“數學教學的基本要點應是以數學知識的教學為載體，開啟學生的智慧大門，引發學生實質性的數學思維，促進學生的全面發展，所以數學課堂中應有更多的探究和理解，更少的簡單記憶和機械模仿.”(章建躍).作為一線教師，如何有效地實施探究式教學?是值得探討的重要課題，本課作為對這一課題的初步探討，希望成為引玉之磚，并得到專家及同行的指教.