二次函數與四邊形形狀相結合的“存在性”試題解題策略

“存在性”問題屬于探索性問題的一種，以二次函數為載體的四邊形形狀“存在性”問題是近幾年中考壓軸題的熱點. 它以能力立意取代知識立意，立足基礎，突出能力和數學思想的考查，對學生分析問題和解決問題的能力要求較高，有較高的區分度. 現例舉近兩年以二次函數為載體的四邊形形狀“存在性”問題評析如下.

1 與平行四邊形形狀相結合的存在性問題

如圖1，要使四邊形ABCD成為平行四邊形，根據平行四邊形的判定定理，需滿足的條件：(1)AD∥BC 且AD=BC ； (2)AD=BC且AB=CD； (3)OA=OC且OB=OD；對于(1)這種需滿足兩個不同條件的判定方法，我們常常讓其中一個條件先滿足，再根據所需滿足的第二個條件求解.

例1 (2007浙江省)如圖2，拋物線y=x2-2x-3與x軸交A、B兩點(A點在B點左側)，直線l與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2. (1)求A、B 兩點的坐標及直線AC的函數表達式；(2)P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值；(3)點G是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由.

解 (1)令y=0，解得x₁=-1或x₂=3，所以A(-1，0)、B(3，0)；將C點的橫坐標x=2代入y=x2-2x-3得y=-3，所以C(2，-3)，所以直線AC的函數解析式是y=-x-1.

(2)設P點的橫坐標為x(-1≤x≤2)則P、E的坐標分別為：P(x，-x-1)，E(x， x2-2x-3)，因為P點在E點的上方，PE=(-x-1)-(x2-2x-3)=- x2+x+2，所以當x=12時，PE的最大值是94.

(3)若AF為邊，則CG∥AF∥x軸，所以G(0，-3)，AF=CG=2，以A為圓心2為半徑畫弧交x軸于F1、F2，則F1(1，0)，F2(-3，0)；若AF為對角線，AF、CG交于點D，作CM⊥x軸，GN⊥x軸，垂足分別為M、N，所以△ACM≌△FGN，△CMD≌△FND，所以G點的縱坐標為3，FN=AM=3，所以G1(1+7，3)、G2(1-7，3)，因為FN=AM=3，所以F3(4+7，0)，F4(4-7，0)，存在4個這樣的點F，分別是F1(1，0)，F2(-3，0)，F3(4+，0)，F4(4-7，0).

點評 第(3)小題中，因為四個點能組成平行四邊形的情況有多種，需分類討論，把四個點全部找出來有一定的困難.

2 與矩形形狀相結合的存在性問題

如圖3，要使平行四邊形ABCD成為矩形，根據矩形的判定定理，需滿足的條件是(1)有一個角(如∠BAD)等于90°. 由勾股定理的逆定理，需滿足的數量關系是AB2+AD2=BD2；(2)AC=BD；解題的常見思路是：根據所需的數量關系建立方程模型求解.

例2 (2006年山西)如圖4，已知拋物線C1與坐標軸的交點依次是A(-4，0)，B(-2，0)，E(0，8). (1)求拋物線C1關于原點對稱的拋物線C2的解析式；(2)設拋物線C1的頂點為M，拋物線C2與x軸分別交于C，D兩點(點C在點D的左側)，頂點為N，四邊形MDNA的面積為S，若點A、點D同時以每秒一個單位的速度沿水平方向分別向右、向左運動，與此同時，點M、點N同時以每秒兩個單位的速度沿豎直方向分別向下、向上運動，直到點A點D重合為止，求出四邊形MDNA的面積S與運動時間t之間的關系式，并寫出自變量t的取值范圍；(3)當t為何值時，四邊形MDNA的面積S有最大值；(4)在運動過程中，四邊形MDNA能否形成矩形?若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由.

解 (1)拋物線C2的解析式為y=-x2+6x-8，過程從略.

(2)易知M(-3，0)，N(3，1)，過N作NH⊥AD于H. 當運動到時刻t時，AD=2OD=8-2t，NH=1+2t. 由中心對稱的性質有OA=OD，OM=ON，四邊形MDNA為平行四邊形，則S=2S△ AND =(8-2t)(1+2t)=-4t2+14t+8. 由題設知0≤t <4.

(3) 當t=-b2a=74(屬于0≤t<4的范圍)時，S有最大值，此時S的最大值為814.

(4)解法1：由(2)知四邊形MDNA為平行四邊形，若能形成矩形，則AD=MN，所以OD=ON，因此有OD2=ON2=OH2+NH2，即t2+4t-2=0. 解得t1=6-2，t2=-6-2(舍去).

解法2：因為四邊形MDNA為平行四邊形，若能形成矩形，則需∠AND=90°，由勾股定理的逆定理知，需滿足的數量關系是AN2+ND2=AD2，即(AH2+NH2)+(NH2+HD2)=AD2，所以(7-t)2+(1+2t)2+(1+2t)2+(1-t)2=(8-2t)2，得t2+4t-2=0. (同上). 所以在運動過程中，四邊形MDNA可以形成矩形，此時t=6-2.

點評 在第(2)小題中涉及動點問題，關鍵是弄清動點運動的路程是哪一段. 第(4)小題要判斷矩形，既可以根據對角線相等的平行四邊形是矩形來判斷，也可以根據有一個角是90°的平行四邊形是矩形來判斷.

3 與菱形(正方形)形狀相結合的存在性問題

如圖5：要使平行四邊形ABCD成為菱形，根據菱形的定義及判定定理，需滿足的條件是(1)鄰邊相等，如AB=BC；(2)對角線互相垂直，如AC⊥BD；要使平行四邊形ABCD成為正方形，根據菱形及矩形的判定定理，需滿足的條件是：對角線相等且互相垂直.

例3 (2007河南)如圖6，對稱軸x=72的拋物線經過點A(6，0)和B(0，4).

(1) 求拋物線解析式及頂點坐標；

(2) 設點E(x，y)是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形，求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

① 當平行四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形?

② 是否存在點E，使平行四邊形OEAF為正方形?若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

4 與等腰梯形形狀相結合的存在性問題

圖7 圖8 如圖7：四邊形ABCD是梯形，AE⊥BC，DF⊥BC，要使梯形ABCD成為等腰梯形，根據等腰梯形的概念，需滿足的條件是(1)AB=CD ；(2)BE=CF； (3)∠B=∠C；在表示AB、CD的長度時，常常需構造Rt△ABE、Rt△CDF，這樣首先得表示出BE、CF的長，所以(1)、(2)兩種判定方法，我們常常以(2)這種判定方法作為判定等腰梯形的首選方法.

例4 (2007重慶)如圖8：已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，若以O為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖8所示的平面直角坐標洗，點B在第一象限內. 將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內的點C處.

(1) 求點C的坐標；

(2) 若拋物線y=ax2+bx(a≠0)經過C、A兩點，求此拋物線的解析式；

(3) 若拋物線的對稱軸與OB交于點D，點P為線段DB上一點，過P作y的平行線，交拋物線于點M. 問：是否存在這樣的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形?若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由.

點評 本題綜合考查了求點的坐標、求拋物線的解析式、解直角三角形等知識，既是代數與幾何的有機結合，又有運動與靜止的辯證統一. 第(3)小題解法1，由一邊上兩個角相等的梯形是等腰梯形，得出等腰梯形CDPM的頂點M即為直線CB與拋物線的交點，需要學生有較強的觀察能力及分析問題的能力，有一定的難度.

作者簡介：鄭耀文，1972年11生， 大學本科，中學一級教師. 主要從事于“如何開展課外合作學習”的研究，所參與的該課題獲市二等獎，多次獲"希望杯"優秀輔導員稱號.

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