數學沙龍：追尋數學課堂教學的本義

【關注理由】

新課程實施以來，相當一部分的小學數學課堂過于追求課堂上的花樣翻新，盲目地追求趣味性，因而顯得花哨和浮躁。貌似熱鬧的課堂背后，學生學到的基礎知識、基本技能、基本的數學活動經驗、基本的數學思想方法等都很膚淺，特別是對數學知識本質的認識和深刻的理解遠遠不夠。學生的學習猶如蜻蜓點水，一知半解。面對這一現象，江蘇省南京市的幾名小學數學教育工作者以沙龍的形式，圍繞“數學課堂教學的本義”這一話題展開熱烈的討論。現摘錄部分內容以饗讀者。

地點：江蘇省南京市江寧區百家湖小學會議室。

時間：2008年7月1日。

人員：江蘇省數學特級教師、南京市數學學科帶頭人和青年骨干教師等。

戴厚祥：各位專家，早上好！今天請大家來，想就話題《新課程背景下，怎樣的教學能促進學生數學地思考、深刻地理解》談談想法。我個人認為在新課程改革的大潮沖擊下，現今的很多數學課堂表面上看起來很熱鬧，甚至有沸騰的感覺。但課后留給學生積淀下來的東西，內化為學生的數學思想方法、解決問題的策略等，卻不太令人滿意。

有些教師對數學教育的本質理解得不夠深入，一味地盲目地追求生活化、情境化、趣味化，沒有掌握好尺度，忽視了數學教育最為本質的特征——數學化，這對學生數學意識的培養、數學素養的提高、數學思維水平的提升是不利的。有些數學知識、概念，教師沒有通過適宜的問題情境，有效的認知沖突，恰當的變式練習，讓學生在課堂上深刻地理解，一旦對這些知識進行加工或改造后，學生將不知所措。只有當新的知識被學習者納入到已有認知框架中，成為理解了的和有意義的意識，才真正是學生自己的數學知識。只有在數學概念明晰、內容理解深刻、數學活動經驗廣泛的情況下，他們的建構過程才會豐富多彩，才能在新情境中實現遷移和觸類旁通。因此，我認為新課程背景下，研究怎樣的課堂教學，能促進學生數學地思考問題，達到深刻地、本質地理解，有著極為重要的意義。下面，請各位就這一問題發表自己的見解。

周祥林(江蘇省南京市江寧區教育局教研員，市學科帶頭人)：這個話題我覺得很有價值，牽涉到對數學本質的理解，這是前提。怎樣教學才能體現對數學本質的深刻理解？前者是理論層面，后者是操作層面，只有理解了是什么，才能知道怎么做。數學的本質正如南京大學哲學系教授、博士生導師鄭毓信所說：“數學可被定義為‘模式的科學’。也就是說，在數學中我們并非是就各個特殊的現實情景從事研究，而是由附屬于具體事物或現象的模型過渡到了更為普遍的‘模式’”。數學知識是“數與形以及演繹（即推理）”的知識。而數學活動則是由問題、語言（包括符號）、論證、命題以及數學觀點這樣五種成分所組成。對于小學數學而言，數學活動可以簡單地描述為：在現實中提取問題，然后運用所學的數學思想與方法去解決。數學活動經驗則是通過數學活動逐步積累起來的一種體驗。數學有抽象性、精確性和應用的廣泛性等特點，其中最本質的特點是抽象性。

詹明道（江蘇省南京市江寧區教育局教研員，全國著名特級教師）：周老師談得很有道理，要使學生對數學有深刻的理解，教師自己須對數學內容有本質的理解和把握。例如，小學階段“數”的本質是無限和有序，幾何圖形中“圓”的本質是同圓或等圓半徑相等、圓的周長與直徑的比是個定值。再如“統計”，統計問題的本質是隨機的、不確定的，要通過較多數據來進行推斷，這就需要借助許多個別的來推斷一般。因此，教學統計知識時，我們應抓住以下幾點：首先，要幫助學生養成通過數據分析問題的意識和習慣，遇到問題要通過事實來分析，用數據來說話。因此，必須調查研究、搜集數據，并在此基礎上分析、判斷。只有這樣，才能客觀反映實際情況，解決問題。其次，應幫助學生建立隨機觀念。有些事情可能發生或可能不發生，這在日常生活中大量存在。我們唯有掌握足夠多信息，才能做出合理推斷。除此以外，還要使學生學會如何判斷事情的主要因素，讓學生能夠在一大堆看似雜亂無章的信息中尋找規律，抓主要因素。

莊惠芬（江蘇省常州市湖塘橋中心小學副校長，特級教師）：實際上，我以為數學知識的理解與獲得首先是一個積極的內化過程。學生不是僅以理性軀殼進入“數學文本”，而是帶著個體的體驗、認知模式、情感態度展開理解、溝通、對話，不斷地進行著多種經驗、視界的交錯、重疊、融合，通過對話、交流，拓展了數學教材的可能空間，賦予數學知識以新意義、新價值。知識“內化”即外在顯性知識轉化為內在緘默知識，使知識嵌入個體已有的知識體系之中。知識的內化包括同化與整合。知識同化是舊知識得到改造，原有認知結構得以擴充、拓展，新知識為學習者理解。知識的整合是指主體有意識地對內部的知識、經驗進行統整，新、舊知識相互作用，最終形成一個多層次、多類型、相互關聯的有序整體。只有經過同化與整合，知識才能為學生所真正理解，才能形成完整的認知結構，獲得知識的本質意義。在評價標準上，課堂上要重視學生對數學學習的獨特理解和意義闡釋，鼓勵知識探究，尊重學生的個體感受，承認個體評價與內在評價的價值，激發學生的附屬內驅力。

張麗莉(江蘇省南京市百家湖小學數學教研組長，市青優)：數學知識要想被學生所真正理解，我覺得創設問題情境是一個比較好的途徑。布魯納認為：“學習者在一定的問題情境中，經歷對學習材料的親身體驗和發展過程，才是學習者最有價值的東西。”創設問題情境要力求在最短的時間內吊起學生的“胃口”，讓學生以最佳的思維狀態投入到學習活動中去。另外，創設問題情境要努力選擇與現實生活密切相關、富有時代氣息、具有引發思考懸念的內容。如“循環小數”一課包含“純循環小數”、“混循環小數”、“循環節”、“循環小數近似值”等許多概念，其核心知識是“循環”。教師先從時鐘談起，讓學生回答：“時鐘是怎樣轉動的？”“你們的課表為什么每星期都可以用？”教師邊提問邊演示，從而使學生不知不覺地進入到“循環小數”的學習之中。

甘慶軍（江蘇省江寧區湖熟中心小學，區青標）：事實上，認知與情感是相互促進、相輔相承的。在教學過程中教師不僅要注意學生接受信息過程中的能力加工情況，而且還要重視他們的情感狀況，在人的整體素質發展中，情感起著基礎性的、內在性的、恒定性的支撐作用。在認識過程中體嘗思維之趣，成功之樂，提高各種素質，實現認知與情感的和諧統一。

教師要善于抓住知識的重點、難點，通過質疑提出問題，啟發思考，引導學生質疑問難，促其對知識的理解和掌握更加深刻，從而培養學生的探究精神。教學中我們發現若能形成學生自我質疑釋疑，共同探索的氣氛，則更有利于學生在共同探索的過程中，分享認知活動中的情緒體驗，促進情感上的和諧融洽。情感上的共鳴，也就會促進學生之間情感上的相互激勵、喚醒。情感的激活反過來能促進學生在認知上的投入、理性上的深化。

許紅梅（江蘇省南京市科學園小學數學教師，市骨干）：甘老師剛才從認知與情感的關系上，對這個話題進行了詮釋，我認為要使學生更好地理解和掌握數學最基礎知識，教師還應該引導學生從理論與實際的聯系中去學習、理解數學知識。

一方面，教師要把書本知識與生活實際聯系起來，如教學時間單位“分”和“秒”以及分與秒之間的進率，可以讓學生參加一分鐘的活動，如跳繩、拍球或穿衣等來體驗1分或60秒的長短。另一方面是學以致用，教師要通過教學讓學生能夠運用數學知識去分析問題和解決問題，靈活地運用數學知識，做到學懂會用。學生通過利用所學的知識解決了一些簡單的實際問題，密切了數學與生活的廣泛聯系，能夠加深對所學知識的理解。如學完《24小時記時法》后，設計這樣的實踐活動，“某班要去當地三個景點游覽，時間為8：00—16：00。請你設計一個游覽計劃，包括時間安排、費用、路線等?！蓖ㄟ^解決這個問題，學生可以提高收集、整理信息的能力，培養與人合作的意識。

王曉紅（江蘇省太倉市朱棣文小學數學教師）：動手操作是促進學生深刻理解知識的一個途徑，我在教學《認識幾分之一》時，覺得它屬于概念教學，而概念是反映一類事物的本質屬性，它不可以被直接感知。其教學往往需要讓學生經歷一個歸納與演繹，發現與內化理解的過程。為了激發學生自主探究新知的興趣，我精心設計了四次操作與反思，這四次操作要求不同、層層遞進，為學生深刻認識幾分之一提供了時間與空間。操作一：在動手操作中復習分數；操作二：在操作中進一步認識二分之一；操作三：在操作中認識整體的幾分之一；操作四：在操作中拓展對幾分之一的認識。教學實踐證明：每一次的操作與反思，都充分調動了學生學習的主動性、積極性，引導學生動腦、動手、動口，激發學生的思維，提高他們分析問題和解決問題的能力，在活動中增強學生探索分數的興趣，積累了積極的數學學習情感。

戴厚祥：根據現場教學情況，與課堂上學生的信息互動，與自己已有的知識經驗互動，與教材內容的要求（深度和難度）互動，教師不可能完全按照事先設計好的環節進行，要求教師應學生而變，應臨場實際情況而變，遵循學生發展的需要和狀況靈活調整教學方案。通過對新資源的開發利用，師生再度歸納、整合、利用，形成深層次、高層次的資源，引導學生向深度開掘，達到透徹地理解。

張德勤(江蘇省南京曉莊學院數學系教授)：學生深刻理解、本質理解的關鍵是教師引導下的自主探究性學習。美國教育家施瓦布從方法論的角度對教學過程進行了剖析，主張學生按照科學家研究的程序和方法進行學習，并首先提出了探究學習。探究學習設計的基本策略如下：①創設情境，提出問題。②提出猜想，建立假設。③探究發現，驗證猜想。④交流研討，總結提高。組織學生交流各自探究的成果，反思探究過程中的思維策略與探究模式，并加以類化。同時，設計必要的基本練習、獨立性練習與開放性練習，在練習中使探究的結論得以強化。對“探究學習”的研究，可以從理論層面或者從實踐層面。但對于一線教師，最需要解決的問題是：在一節課中究竟該如何操作，才能完整地、準確地體現課程標準改革學習方式的理念和要求。

李興鋒（江蘇省南京市百家湖小學教師，區青標）：在認知心理學中，有意識地將許多零散的信息單元整合成一個更大意義的信息單位，并貯存在大腦中的心理活動稱之為“組塊”，而貯存在人腦中的信息單位稱為“相似塊”，也稱為“圖式”。而“組塊”則是認知過程中的一種組織策略和整合行為，具有組合、重組的功能，它可以提高記憶的容量和效率。

數學課堂學習中，學生理解的不一，有學生的智力因素作用，也有組塊教學訓練意識的作用。有意識地嘗試進行組塊教學，幫助更多的學生構建自身大的記憶組塊，加深對數學概念、法則、系統的理解，是數學教育的本義之一。

怎樣去實施組塊教學呢？復習整理是一個重要訓練環節，比如在復習“圓”這一章時，給學生這樣一個知識結構圖。

能清晰幫助學生建立圓的知識組塊，提到圓，就明白圓這一章學了圓的五點內容，在頭腦中能一一列數，進而再細化到某一點的具體學習內容。有條不紊，思路流暢，非常的便于記憶、理解、應用。同樣的，在數學概念的理解，定律的概括，公式的推導過程中，有意識的訓練學生的“組塊”能力對學生的數學學習是有幫助的。

賈敏（江蘇省南京市百家湖小學教科室干事、市優秀青年教師）：我認為一節數學課不僅要關注現實生活，更要關注數學文化，在科學與文化的座標系中找準自己的切入點。將數學文化引入課堂，不僅能讓學生在賞心悅目中與數學結下不解之緣，而且能讓學生最大限度地張揚數學思考的魅力，促進對數學的深刻理解。

人文精神、文化內涵是課堂教學中精神領域的一個重要組成部分。教育的本質從某種意義上說就是文化的傳承。數學文化的基本內容是數學史、數學家、數學思想、數學觀點、數學思維、數學方法等。數學文化的根本特征是它表達了一種探索精神，這一特征充分體現了數學文化的魅力。對學生而言數學決不只是掌握知識的多少，而且是對問題的一種思考，數學文化的本質大概也在于此。

端木鈺(江蘇省南京市小西湖小學教科室主任，市數學學科帶頭人)：我認為在學習中要從兩個著眼點出發，讓學生在不同的學習過程中養成問的習慣。

首先，著眼于教材的認知，在“學”中問。①創設情境，在“沖突”中問。②培養自學，在“重點”中問。學生自學能力的強弱，關鍵是對教材中“重點”的把握，如果學生能夠在靜態的教材中找到富于動態的內涵，能夠在平凡的教學字眼中把握重點提問，進而探究，本身就是說明學生的問題意識的強弱。③小組合作，在“難點”中問。④合理開放，在“多解”中問。

其次，著眼于社會實踐活動，在“用”中問。①關注活動，在“操作”中問。數學問題生活化，新課標中提出讓學生初步運用數學思維方式去觀察、分析現實社會，去解決日常生活中和其他學科學習中的問題，增強應用數學的意識。在數學學習中，還應當關注學生的數學活動，讓學生在學習的體驗中、情感中、發展中提問。②關注生活，在“實踐”中問。生活問題數學化，讓學生走出課堂，在實踐中提出問題，讓學生真切感受到數學就在身邊，培養學生用數學的頭腦與眼光去觀察生活。

張勇（江蘇省南京市百家湖小學數學教師，省優青）：實際上，深刻、本質地理解的核心是抽象建模。面對現實事物具體進行構造數學模型的過程稱為數學建模。也就是說數學建模一般應理解為問題解決的一個側面、一種類型。它解決的是一些非常實際的問題，要求學生能把實際問題歸納（或抽象）成數學模型（如方程）加以解決。從數學角度出發，數學建模是對所需研究的問題作一個模擬，舍去無關因素，保留其數學關系，以形成某種數學結構。從更廣泛的意義上講，建模則是一種技術、一種方法、一種觀念。

數學新課程的實施，最重要的是使學生真正理解數學。建立和處理數學模型的過程，不僅是將數學理論知識用于實際問題的過程，更為重要的是學生能體驗到從實際情景中發展數學、獲得“再創造”數學的絕好機會。在建立模型、形成新的數學知識的過程中，有機會讓自己思維活躍起來，并極積主動地親身體驗數學化的過程，學生更能體會到數學與自然和生活的聯系。

詹明道（全國著名特級教師）：最后，我還想就數學思想談一些看法。數學思想是對數學知識的本質認識，是數學知識的實魂，是處理數學問題的指導思想。教學時重視數學思想方法的滲透，不僅能使學生對所學知識理解更深刻，而且對提高學生的數學素養也十分有用。在滲透數學思想方法時，是否可以從以下三個方面考慮。首先，在知識的發展過程中孕伏數學思想方法。比如教學“平行四邊形的面積計算”，教師可以在引導學生數方格后，進一步作出追問：“用什么方法可以很快算出他們的面積？”引導學生通過剪、拼，把原有圖形轉化成長方形。這樣，探索計算公式的過程，恰恰也成了學生運用化歸思想的過程。其次，在引導學生自主探索的過程中滲透數學思想方法。比如，在圓面積計算公式推導過程中，引導學生先把圓分成若干等份，拼成近似的長方形。使學生體會到圓等分份數越多，就越接近長方形，從而使學生感悟到無限遞進的方法，有機滲透極限的數學思想。最后，在知識總結、歸納的過程中揭示數學思想方法。比如，教學“梯形面積計算”一課，總結歸納推導方法時，可以揭示：這種推導方法是把陌生的、要解決的問題轉化成熟悉的、已經解決的問題。從而恰到好處地揭示化歸的數學思想。

靜態的數學教材中隱含著大量數學思想方法，適當時候，將滲透于數學知識中的數學思想方法揭示出來，不僅可以深化學生對數學知識的理解，提高學生分析問題、解決問題的能力，還可以把體驗、感悟到的數學思想方法遷移到其它學科的學習中。

戴厚祥：剛才，各位小學數學教育專家就數學課堂如何促進學生深刻地思考，進而達到本質地理解談了自己的想法，有的從問題情境的創設切入，有的從元認知角度來談，有的從探究學習的高度來審視，有的從數學文化的領域來研究……，如果把這個論題比作一個球的話，大家從不同角度擊中了球的內核，想得有深度，談得有高度，有開放度。我覺得這個話題在當今新課程改革下，對我們的數學課堂改革具有一定的指導性和啟發性，同時也希望這個話題能夠引起廣大數學教師的關注，并把她繼續向深邃處引領！

謝謝大家！

（戴厚祥、李興峰、賈敏：江蘇省南京市百家湖小學，211100）