關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的案例研究

一、教學(xué)實(shí)踐

以“多邊形面積計(jì)算的實(shí)踐活動(dòng)”課為例，分析一下，我是如何設(shè)計(jì)這節(jié)課的，以及五年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何初步知識(shí)方面掌握的數(shù)學(xué)思想方法的情況。

1 以數(shù)學(xué)思想方法為主線安排教學(xué)內(nèi)容。

第一階段：回憶整理所用的數(shù)學(xué)思想方法。

在這節(jié)課中，我首先以學(xué)過(guò)的五個(gè)多邊形的面積公式及其推導(dǎo)過(guò)程為載體，讓學(xué)生回憶整理其中所應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想與方法。先讓學(xué)生說(shuō)出五個(gè)圖形的面積公式；然后分小組討論每個(gè)公式的推導(dǎo)過(guò)程；接著我又讓學(xué)生應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想說(shuō)出

最后讓學(xué)生討論，回憶整理出其中所用的數(shù)學(xué)思想方法主要有：割補(bǔ)法、拼合法、平移法、旋轉(zhuǎn)法，遷移思想、轉(zhuǎn)化思想等。

第二階段：應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決實(shí)際問(wèn)題。

我設(shè)計(jì)了四道實(shí)際應(yīng)用題目。(實(shí)踐操作題。觀察發(fā)現(xiàn)題，先估后驗(yàn)題，解決“買地”題)(1)實(shí)踐操作題：讓學(xué)生觀察教室里哪些物體的面上有我們學(xué)過(guò)的圖形，然后各小組自選一個(gè)圖形測(cè)量出必備的條件計(jì)算出這個(gè)圖形的面積。(2)觀察發(fā)現(xiàn)題：(如圖2)，運(yùn)用觀察、比較的方法找出這幾個(gè)圖形的異同點(diǎn)。(3)先估后驗(yàn)題：①在圖3a中大平行四邊形的面積是48平方厘米。小平行四邊形的面積是多少?②梯形的面積是72平方厘米。涂色部分面積是多少?

教師先不出示數(shù)據(jù)只出示題目，讓學(xué)生直接觀察估出陰影部分的面積是多少?然后再出示各數(shù)據(jù)，學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證估算結(jié)果的正確性。(4)解決“買地”題：某村有一塊荒地，如圖4所示，準(zhǔn)備以每平方米200元的價(jià)格出售，如果買方有1.2萬(wàn)元你認(rèn)為夠嗎?

要求學(xué)生用多種方法計(jì)算組合圖形的面積，如圖5所示，學(xué)生用的方法有：在練習(xí)中，不以得出答案為目標(biāo)，而以學(xué)生能否應(yīng)用各種數(shù)學(xué)思想方法解決實(shí)際問(wèn)題為主要目標(biāo)，讓學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考、合作交流和自我評(píng)價(jià)等過(guò)程，提高學(xué)習(xí)的能力，培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

2 學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法的情況統(tǒng)計(jì)如下：

(1)主要的內(nèi)容：有數(shù)格子法、割補(bǔ)法、拼合法、平移法、旋轉(zhuǎn)法、分割法、補(bǔ)足法、移位法、找等量法、先估后驗(yàn)法、觀察對(duì)比法等以及遷移思想、轉(zhuǎn)化思想、優(yōu)化思想等。

(2)掌握的深度：能說(shuō)出所用方法的名稱，并進(jìn)行演示的占總?cè)藬?shù)的90％以上，還能有條理地?cái)⑹鐾评磉^(guò)程的約占總?cè)藬?shù)的50％。

(3)掌握的廣度：這些方法中全部掌握的占20％左右，大部分能掌握的占80％，只掌握半數(shù)的占90％以上，其余(10％)的學(xué)生只掌握一些最常用的方法。

3 學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法存在的問(wèn)題：

(1)觀察無(wú)序。如前述觀察發(fā)現(xiàn)題，學(xué)生不能按從“總體一部分一總體”的觀察順序，先說(shuō)出共有哪幾個(gè)圖形，然后再說(shuō)出每個(gè)圖形的已知條件和可求的面積，最后再進(jìn)行比較找出四個(gè)圖形中的異同點(diǎn)。一般都是想到什么就說(shuō)什么，思維缺乏條理性。

(2)估算能力差。估算不光是一種技能，更是一種良好的習(xí)慣與意識(shí)，它能幫助學(xué)生自覺(jué)地注意計(jì)算結(jié)果的合理性。前述先估后驗(yàn)題，能估出第一幅圖的學(xué)生占絕大多數(shù)，而能估出第二幅圖的卻寥寥無(wú)幾。這說(shuō)明學(xué)生的空間想象力還不夠強(qiáng)，這是一個(gè)薄弱環(huán)節(jié)。

(3)盲目分割現(xiàn)象多。前述“買地”題，要求學(xué)生采用多種方法求組合圖形的面積。作業(yè)中發(fā)現(xiàn)。學(xué)生都會(huì)用分割法進(jìn)行計(jì)算，但盲目分割的現(xiàn)象多。如圖6所示有的分割成這種情況：學(xué)生只考慮方法要多，而不去考慮使用這些方法能否使計(jì)算簡(jiǎn)便，初步統(tǒng)計(jì)有出現(xiàn)盲目分割的學(xué)生約占66％。可以看出學(xué)生的優(yōu)化意識(shí)還不強(qiáng)。

二、教學(xué)啟示

啟示一：重視思想方法，落實(shí)培養(yǎng)目標(biāo)。

關(guān)于“獲得數(shù)學(xué)思想方法”這一目標(biāo)的落實(shí)，我曾經(jīng)走過(guò)以下三種歷程：(1)只重視知識(shí)技能的獲得，根本不提所用的數(shù)學(xué)思想方法。(2)只提出所用的數(shù)學(xué)思想方法的名稱，而學(xué)生并未實(shí)際掌握。(3)以數(shù)學(xué)思想方法為主線，讓學(xué)生運(yùn)用它去獲取知識(shí)和技能。現(xiàn)在我教“平行四邊形的面積計(jì)算”這節(jié)課時(shí)，就讓學(xué)生自己變魔術(shù)，把一張長(zhǎng)方形紙沿一條直線剪一刀，變成兩個(gè)圖形，再拼成一個(gè)新的圖形，如圖7所示。

然后引導(dǎo)學(xué)生觀察變化前后兩個(gè)圖形什么變了什么沒(méi)變，讓學(xué)生明白“等積變換”的原理。再回憶我們所用的方法，總結(jié)出“割補(bǔ)法”的作用。在這個(gè)基礎(chǔ)上，讓學(xué)生思考如何找出求平行四邊形面積的計(jì)算方法。這樣，學(xué)生就能自覺(jué)地運(yùn)用“割補(bǔ)法”與“等積變換”的原理，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成已學(xué)的長(zhǎng)方形進(jìn)行推導(dǎo)，做到不但能說(shuō)出思想方法的名稱，還能具體演示和說(shuō)明推導(dǎo)過(guò)程。顯然，我們應(yīng)該提倡第三種做法。

啟示二：開(kāi)展探索活動(dòng)，運(yùn)用思想方法。

分析自己所上的課，發(fā)現(xiàn)在開(kāi)展探索活動(dòng)中，往往存在三個(gè)不夠：(1)提供的探索時(shí)間和空間不夠。(2)提供探索的材料和民主氣氛不夠。(3)探索活動(dòng)發(fā)揮中師生、生生合作的作用不夠。如在學(xué)習(xí)“三角形的面積計(jì)算”這節(jié)課上，當(dāng)學(xué)生探索把三角形轉(zhuǎn)化成已學(xué)過(guò)的圖形時(shí)，過(guò)去我是這樣處理的：請(qǐng)同學(xué)們拿出自己準(zhǔn)備好的兩個(gè)完全一樣的三角形拼拼看，可以拼成已學(xué)過(guò)的什么圖形?然后立即進(jìn)行公式推導(dǎo)。這樣課堂上好像在探索，實(shí)際上卻是按教師預(yù)先設(shè)計(jì)的方案，用統(tǒng)一的思路與材料在被動(dòng)地操作而已。現(xiàn)在我則拿出較多的時(shí)間，讓學(xué)生敞開(kāi)思想，先猜一猜：用一個(gè)三角形可不可以?用兩個(gè)三角形可以嗎?用什么樣的兩個(gè)三角形才可以呢?然后自由選擇，分工嘗試，教師下組共同探討。這樣，課堂上學(xué)生就多一份猜想的沖動(dòng)，多一點(diǎn)自主求異的思維和爭(zhēng)優(yōu)的雄心。在這種情況下點(diǎn)明所用的思想與方法，學(xué)生一定印象深刻。

啟示三：對(duì)比、分析、總結(jié)、領(lǐng)悟思想方法。

在學(xué)習(xí)時(shí)，除了要多進(jìn)行實(shí)際操作外，還要適時(shí)進(jìn)行對(duì)比、分析與總結(jié)，讓學(xué)生掌握它的特點(diǎn)，明確它所依據(jù)的原理，并加以命名，這樣學(xué)生才好記，好說(shuō)，又好用。如教學(xué)“梯形的而積計(jì)算”時(shí)，在展示各種探索成果之后，引導(dǎo)學(xué)生做下面三項(xiàng)工作。

(1)找出異同點(diǎn)。相同點(diǎn)：都是轉(zhuǎn)化成已學(xué)過(guò)的圖形。不同點(diǎn)：轉(zhuǎn)化的方法不同，①②是用一個(gè)梯形轉(zhuǎn)化，③④是用兩個(gè)完全一樣的梯形轉(zhuǎn)化。

(2)分析根據(jù)的原理。都是根據(jù)“等積變換”的原理，

(3)總結(jié)特點(diǎn)并命名。①②是找腰中心點(diǎn)、割補(bǔ)、旋轉(zhuǎn)一割補(bǔ)法：③④是重合、旋轉(zhuǎn)、平移一拼合法。都能推導(dǎo)出梯形面積是5=(a+b)×h÷2。

啟示四：創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，提高應(yīng)用水平。

“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，學(xué)生的積極思維往往由問(wèn)題誘引，又在解決問(wèn)題的過(guò)程中得到發(fā)展。如在教學(xué)“組合圖形面積的計(jì)算”中，設(shè)計(jì)像本課“買地”一題的問(wèn)題情境，就能讓學(xué)生展開(kāi)多角度的思維，綜合應(yīng)用所學(xué)的各種數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題。在多種解法面前，我注意組織學(xué)生分析研究。如這道題分割成兩塊就能解決問(wèn)題，對(duì)于分割成i塊、四塊，甚至五塊的現(xiàn)象，我就引導(dǎo)學(xué)生討論，它們有什么特殊意義，從中既讓學(xué)生增強(qiáng)了優(yōu)化意識(shí)，又讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)了“找等量的方法”。例如：

①以長(zhǎng)方形為等量：6×5×2.5＝75(平方米)

②以三角形為等量：6×5÷2×5＝75(平方米)

又例如在學(xué)生分割的基礎(chǔ)上，我啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)各分割塊之間的等邊關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行移位，拼成一個(gè)已學(xué)的圖形。

①變成梯形：(10+5×3)×6÷2＝75(平方米)

②變成梯形：(12×2+6)×5-2＝75(平方米)

這使學(xué)生眼界大開(kāi)，興趣盎然，在應(yīng)用中不斷提高運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的水平。

責(zé)任編輯：王 彬