一個優美不等式的進一步推廣

《數學通訊》2006年21期介紹了一組俄羅斯《中學數學》雜志刊登的不等式，其中包括以下的瓦西列夫不等式：設a，b，c＞0，a＋b＋c＝1，則＋＋≥2．

《中學數學》2007年4期將其結論進行推廣得到如下結論：設a，b，c為滿足a＋b＋c＝1的正數，則＋＋≥，（λ≥1）．

本文將以上結論進一步推廣，可得到如下定理．

定理：設a，b，c＞0，a＋b＋c＝1，則對任意的實數λ1≥λ2≥0有＋＋≥．

當λ1＝λ2＝1時，該定理的結論即是文［1］中的結論． 當λ2＝1時，該定理的結論即是文［2］中的結論． 因此，該定理推廣了文［1］和文［2］的結論． 我們還可以將定理中a＋b＋c＝1這一條件進一步放寬，得到如下推論．

推論：設a，b，c＞0，a＋b＋c＝d，其中d＞0為常數，則對任意的實數λ1≥λ2≥0有＋＋≥（d≥1）或＋＋≥（0＜d＜1）．

當λ2＝1時，此結論也是文［2］中相關結論的推廣．

定理的證明：首先我們可以利用均值不等式得到以下兩個結論.

（1）若a，b，c＞0，則＋＋≥． 事實上，＋＋＝

（2）若a，b，c＞0，則＋＋≥33＝3． 所以，利用以上兩個不等式可得＋＋＝＋＋

下面我們對推論進行簡單的證明．

推論的證明：由a，b，c＞0，a＋b＋c＝d＞0可得，，＞0且＋＋＝1，所以由定理的結論可得＋＋≥，

即＋＋≥．

若d≥1，則＋＋≥＋＋≥；若0＜d＜1，則令λ3＝＞λ1≥λ2≥0，則由定理的結論知

＋＋＝＋＋≥＝.

綜上，推論成立．