“無星級”酒店

近日，全球首家“無星級”酒店在瑞士一座廢棄的核能避難所開業(yè)。由于地下室有錯(cuò)綜復(fù)雜的管道分布，所以住客們一起居住在裝有大型管道和電管的房間里，一個(gè)房間通常可住多名住客。這里的房間都沒有窗戶，自然看不到屋外的風(fēng)景，同時(shí)也沒有客房服務(wù)和電視。由于當(dāng)?shù)氐臒崴?yīng)系統(tǒng)不穩(wěn)定，所以只有早起的住客才有機(jī)會(huì)洗上熱水澡，其他人只能“享受”阿爾卑斯山下的凍水澡。此外，一旦戰(zhàn)爭爆發(fā)，住客還必須和軍人、消防員以及處理緊急狀況的工作人員一起居住。但是，該酒店的房價(jià)在瑞士來說卻是非常低廉的，每晚僅需17英鎊（約合人民幣204元）。

1. 建筑工人修建“無星級”酒店時(shí)，在廢棄的核能避難所發(fā)現(xiàn)了某種特別的物質(zhì)，該物質(zhì)的溫度θ（單位：攝氏度）隨時(shí)間t（單位：分鐘）的變化規(guī)律是：θ=m·2t+21-t（t≥0，并且m>0）.

（Ⅰ）如果m=2，求經(jīng)過多少時(shí)間，該物質(zhì)的溫度為5攝氏度；

（Ⅱ）若該物質(zhì)的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍.

2. 假設(shè)該“無星級”酒店里有一面舊墻長14 m，現(xiàn)準(zhǔn)備利用這面舊墻新增一間平面圖形為矩形，面積為126 m2的客房（如圖1）. 工程條件是：①建1 m新墻的費(fèi)用為a英鎊；②修1 m舊墻的費(fèi)用是英鎊；③拆去1 m舊墻，用所得的材料建1 m新墻的費(fèi)用為英鎊. 經(jīng)討論有兩種方案：①利用舊墻一段x m（x＜14）為矩形客房的一邊長；②矩形客房的一邊長≥14 m. 問如何利用舊墻，即x為多少時(shí)，建墻費(fèi)用最省？①②兩種方案哪種方案最好？

3. 某公司是否投資修建一家“無星級”酒店，由甲、乙、丙三位決策人投票決定，他們?nèi)硕加小巴狻薄爸辛ⅰ薄胺磳Α比惼备饕粡? 投票時(shí)，每人必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為，他們的投票相互沒有影響. 規(guī)定：若投票結(jié)果中至少有兩張“同意”票，則決定對該項(xiàng)目投資；否則，放棄對該項(xiàng)目投資.

（Ⅰ）求此公司決定對該項(xiàng)目投資的概率；

（Ⅱ）記投票結(jié)果中“中立”票的張數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ.

4. 假設(shè)，“無星級”酒店的創(chuàng)辦人在酒店開始盈利后，向銀行存入本金p英鎊，若n年后他們在銀行的存款額是本金與利息之和，且銀行規(guī)定年復(fù)利率為r，試根據(jù)下述不同結(jié)算方式計(jì)算n年后他們的最終存款額.

（Ⅰ）每年結(jié)算一次；

（Ⅱ）每月結(jié)算一次，月復(fù)利率為；

（Ⅲ）每年結(jié)算m次，每個(gè)結(jié)算周期的復(fù)利率為，試證明最終存款額隨m的增加而增加.

參考答案見P61