找癥狀 疏通函數(shù)“經(jīng)絡”

函數(shù)涉及知識點多，且知識面廣，把數(shù)學的各個分支緊緊地聯(lián)系在一起． 函數(shù)與其他知識（方程、不等式、數(shù)列、幾何、三角、導數(shù)等）彼此滲透，相互融合，使得函數(shù)獲得廣泛應用． 函數(shù)本身的多樣性及解決函數(shù)問題的創(chuàng)造性，使函數(shù)成為歷年高考數(shù)學最受關注的知識點． 函數(shù)又因其高度抽象化、高度形式化、高度交叉化和高度應用化等，使得部分同學感覺函數(shù)題目難度太大而產(chǎn)生厭學情緒． 其實，函數(shù)這一部分內(nèi)容更具有規(guī)律性，在理解概念、掌握規(guī)律后也是比較容易的． 下面結合同學們在學習函數(shù)中的常見幾類癥狀，有針對性地加以診斷，從而提出解決之法．

癥狀一 ＞＞

缺乏定義域領先意識

表現(xiàn)對于函數(shù)問題，沒有把確定相應函數(shù)的定義域作為第一條件加以分析，從而導致接下來的求解無從下手或走入誤區(qū)．

癥結對定義域理解不清，忽略函數(shù)的定義域或考慮定義域不全面，缺乏定義域領先意識，沒有意識到定義域是求解相關問題的前提條件．

突破之道在研究函數(shù)問題時，特別是有關函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等相關問題，往往要先分析與判斷對應函數(shù)的定義域．

例1設函數(shù)y＝ f（x）＝，求函數(shù)g（x）＝f（2x）＋f（x＋3）的值域．

解析：易知y＝f（x）＝的定義域為｛x｜x≥2｝，由2x－2≥0，

x＋3－2≥0 得x≥1，即g（x）＝f（2x）＋f（x＋3）的定義域為｛x｜x≥1｝． 當x≥1時，≥0，＝≥，所以g（x）＝f（2x）＋f（x＋3）＝＋≥，即g（x）的值域為［，＋∞）．

癥狀二 ＞＞

缺乏構造特殊函數(shù)意識

表現(xiàn)在解答一些抽象函數(shù)奇偶性和單調(diào)性問題時，往往很難下手，無法直接求解．

癥結缺乏通過特殊函數(shù)解決一般函數(shù)的意識．

突破之道以選取特殊點、特殊函數(shù)、特殊圖象的方法，非常巧妙地處理與函數(shù)圖象、函數(shù)性質(zhì)等有關的問題，變抽象函數(shù)為具體函數(shù)，多用于解答無解題過程的選擇題或填空題中． 對于需要解題過程的解答題，可通過構造特殊函數(shù)來幫助理清思路，進而站在一般的高度尋找突破口．

例2定義在區(qū)間（－∞，＋∞）的奇函數(shù)f（x）為增函數(shù)，偶函數(shù)g（x）在區(qū)間［0，＋∞）的圖象與f（x）的圖象重合．設a＞b＞0，下列給出的不等式中成立的是（）

①f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b）

②f（b）－f（－a）＜g（a）－g（－b）

③f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a）

④f（a）－f（－b）＜g（b）－g（－a）

A． ①與④B． ②與③

C． ①與③D． ②與④

解析：常規(guī)方法很難下手時，可以通過選取特殊函數(shù)圖象，從已知條件出發(fā)，結合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性及函數(shù)圖象加以求解，數(shù)形結合達到目的． 由于f（x）是定義在區(qū)間（－∞，＋∞）上的奇函數(shù)，且為增函數(shù)，可以在坐標系內(nèi)作出一個滿足條件的特殊圖象（如圖1）.

[f（x）][y][g（x）][x][O][-a][-b][a][b]

圖1

那么根據(jù)偶函數(shù)g（x）在區(qū)間［0，＋∞）的圖象與f（x）的圖象重合，作出函數(shù)g（x）的對應的圖象，根據(jù)以上的圖象，可以直觀得到f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b）和f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a）成立． 即選擇C．

癥狀三 ＞＞

缺乏數(shù)形結合意識

表現(xiàn)只會死板地從函數(shù)解析式入手加以分析，缺乏透過表達式產(chǎn)生圖形的意識，往往對函數(shù)問題無法下手或不知所措．

癥結沒有充分理解函數(shù)與對應的圖象之間的密切聯(lián)系，不知道刻意通過對應函數(shù)圖象研究對應函數(shù)性質(zhì)及相關問題．

突破之道把函數(shù)的圖象轉化為方程根的分布、不等式的變化等問題，利用數(shù)形結合思想，通過函數(shù)之間的相互關系，進行對應函數(shù)圖象的平移、變換等，達到求解的目的． 學會密切聯(lián)系文字語言、數(shù)學符號和數(shù)學圖形，而用數(shù)形結合思想來研究相關問題也是必備的數(shù)學素養(yǎng)．

例3已知函數(shù)f（x）＝（x－a）（x－b）－ 2（a＜b），m，n（m＜n）是方程f（x）＝0的兩個根，試確定實數(shù)a，b，m，n的大小關系．

解析：如圖所示，設函數(shù)g（x）＝（x－a）（x－b）（a＜b），那么函數(shù)g（x）＝（x－a）·（x－b）的圖象與x軸交點的橫坐標分別為a，b（a＜b）．

而f（x）＝（x－a）（x－b）－2的圖象是由函數(shù)g（x）＝（x－a）（x－b）的圖象向下平移兩個單位獲得的． 由于m，n（m＜n）是方程f（x）＝0的兩個根，則函數(shù)f（x）＝（x－a）（x－b）－2的圖象與x軸交點的橫坐標分別為m，n（m＜n），結合圖形可知m＜a＜b＜n．

例4已知一元二次方程x2＋2（m－1）x＋（m＋2）＝0（m∈R），試問：

[y][x][O][1]

圖3

（Ⅰ）m為何值時，該方程有一根大于1，一根小于1；

（Ⅱ）m為何值時，該方程僅有一實根在區(qū)間［3，4］內(nèi)？

[y][x][O][y][x][O][3][4][3][4]

圖4

解析：（Ⅰ）如圖3，設x1＜1，x2＞1，則x1－1＜0，x2－1＞0，只要求（x1－1）（x2－1）＜0，即x1x2－（x1＋x2）＋1＜0，根據(jù)韋達定理可得（m＋2）＋2（m－1）＋1＜0，解得m＜－．

（Ⅱ）如圖4，方程f（x）＝0在區(qū)間［3，4］內(nèi)僅有一實根的條件為f（3）f（4）＜0，即［9＋6（m－1）＋（m＋2）］［16＋8（m－1）＋（m＋2）］＜0，即（7m＋5）（9m＋10）＜0，解得－＜m＜－．

癥狀四 ＞＞

缺乏推理證明的訓練

表現(xiàn)碰到抽象函數(shù)變形或抽象函數(shù)的推理與證明就束手無策，無從下手．

癥結缺乏抽象函數(shù)推理與證明的訓練．

突破之道推理與證明以其獨有的技巧和方法，在數(shù)學學習中具有特殊的地位和作用．推理是數(shù)學中最基本的思維過程，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式． 在解決問題的過程中，推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結論，并探索和提供思路的重要作用，有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)． 在函數(shù)問題的推理與證明中，要綜合相關的方法、性質(zhì)加以綜合應用．

例5設函數(shù)f（x）滿足2f

＝1＋x，其中x≠0，x∈R，求f（x）的解析式．

解析：對已知條件整理可得2f

1＋＝1＋x，將x換成，則換成x，得2f（1－x）＋f（1＋x）＝1＋①，將x換成－得2f（1＋x）＋f（1－x）＝1－②，由①②消去f（1－x），得3f（1＋x）＝1－，則f（1＋x）＝－，令t＝x＋1（x≠0），則x＝t－1（t≠1），所以f（t）＝－（t≠1），所以f（x）＝－（x≠1）．

（Ⅰ）求證： f（x）是偶函數(shù)；

（Ⅱ）若存在非零常數(shù)c，使f

＝0，求證： f（x）是周期函數(shù)，且2c是f（x）的一個周期；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下且c＝2，當2≤x≤3時， f（x）＝x，求f

解析：（Ⅰ）令x＝y(tǒng)＝0，則2f（0）＝2f 2（0），因為f（0）≠0，所以f（0）＝1，令x＝0，則f（y）＋f（－y）＝2f（0）f（y），即f（－y）＝f（y），所以f（x）是偶函數(shù)．

（Ⅱ）令y＝，同時用x＋替換x，則f（x＋c）＋f（x）＝2fx

＝0，所以f（x＋c）＝－f（x）， f（x＋2c）＝ －f（x＋c）＝f（x），所以f（x）是周期函數(shù)，且2c是f（x）的一個周期．

（Ⅲ）因為2c＝4是f（x）的一個周期，所以f

＝．