華中師大一附中 長沙一中月考試卷調(diào)研（理科卷）

［試卷報告］#9654;

本套試卷在考查基礎(chǔ)知識和基本技能的基礎(chǔ)上，注重考查同學們數(shù)學思維能力和應(yīng)用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力. 該試卷所涉及的知識主要是不等式、直線和圓的方程、圓錐曲線方程，各部分知識的試題量分配合理，符合高考的要求，題型設(shè)置恰當，考試內(nèi)容覆蓋面較大．題量和難度適宜，題目安排基本上由易到難，有較好的區(qū)分度．其命題有如下特點：

一、注重思想

本套試卷突出考查數(shù)學思想和方法，如第8題看似一道圓錐曲線問題，實則考查均值不等式，其知識上的跨度很大，轉(zhuǎn)化與劃歸思想是解決這一問題最好的橋梁；第14題是一道非常規(guī)的不等式問題，直接求解無從下手，利用數(shù)形結(jié)合思想能幫助我們迅速找到解決問題的突破口，同時該題還考查分類討論思想．

二、突出能力

本套試卷緊扣《考試大綱》要求，按照“考查基礎(chǔ)知識的同時，注重考查能力”的原則，確立以能力立意命題的指導思想，全面檢測同學們的數(shù)學素養(yǎng). 第10、16、22題考查邏輯思維能力，第9、20題考查抽象概括能力，第7、15題考查運算能力．

三、合理交匯

本套試卷注重在知識交匯處設(shè)計試題，如第6題是解析幾何與不等式的綜合；第18題是向量、三角函數(shù)、不等式的綜合，難度適中；第22題是解析幾何、數(shù)列、不等式的綜合，考查分析、綜合、歸納等多種方法，需要同學們具有較強的分析問題和綜合解決問題的能力．

難度系數(shù)：★★★★

區(qū)分度：★★★☆

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．

1． 設(shè)集合A＝｛xy＝x2－1｝，B＝｛yy＝x2－1｝，C＝｛（x，y）

y＝x2－1｝，則下列關(guān)系中不正確的是（）

A． A∩C＝#981; B． B∩C＝#981; C． B#8838;AD． A∪B＝C

2． 直線y＝x截圓（x－）2＋y2＝2所得的弦長為（）

A． 1B． C． 2D． 2

3． 不等式組x－2＜2，

log2（x2－1）＞1的解集為（）

A． （0，）B． （，2） C． （，4） D． （2，4）

4． 已知向量a＝（2cosα，2sinα），b＝（3cosβ，3sinβ），a與b的夾角為60°，則直線xcosα－ysinα＋＝0與圓（x－cosβ）2＋（y＋sinβ）2＝的位置關(guān)系是（）

A． 相切B． 相交

C． 相離D． 隨α，β的值而定

5． 已知a，b，c∈R＋，則三個數(shù)：a＋，b＋，c＋滿足（）

A． 都大于2 B． 都小于2

C． 至少有一個不大于2 D． 至少有一個不小于2

6． 已知直線l1：x＋y＋1＝0，l2：2x＋2y－6＝0，P（x，y）為坐標平面上的動點，若P到l1和l2的距離分別記為d1，d2，則d＋d的最小值為（）

A．B． 2C． 4D． 2

7． 已知P是橢圓＋＝1上的一點，F(xiàn)是橢圓的左焦點，點Q是線段PF的中點，O為坐標原點，且

＝4，則點P到該橢圓左準線的距離為（）

A． 6B． 4C． 3D．

8． 若P（a，b）是雙曲線x2－4y2＝m（m≠0）上一點，且滿足a－2b＞0，a＋2b＞0，則該點P一定位于雙曲線的（）

A． 右支上B． 左支上

C． 右支或左支上D． 不能確定

9． 從集合｛1，2，3…，11｝中任選兩個元素作為橢圓方程＋＝1中的m和n，則能組成落在矩形區(qū)域B＝｛（x，y）

｜x｜＜11且｜y｜＜9｝內(nèi)的橢圓個數(shù)為（）

A． 43B． 72 C． 86 D． 90

10． 已知a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是（）

A． a＜b＜cB． b＜c＜aC． b＜a＜cD． c＜b＜a

二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分．

11． 已知直線l1：y＝x＋2，直線l2過點P（－2，1），且l1到l2的角是45°，則直線l的方程是______________．

12． 已知實數(shù)x，y滿足x＋y－4≤0，

x－2y≤0，

x≥2，則z＝x－y的最大值是_____

_________．

13． 直線xsinθ＋y－1＝0（θ∈R）的傾斜角的范圍是_____

_______．

14． 已知a＞0，a≠1，f（x）＝x－ax，當x∈（－1，1）時，f（x）＜恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_____________．

15. 設(shè)e1，e2分別為具有公共焦點F1與F2的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個公共點，且滿足·＝0，則＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

16． 已知A＝｛（x，y）x≤1，y≤1｝，B＝｛（x，y）

（x－a）2＋（y－a）2≤1｝，a∈R，若記點集A∩B的面積為f（a），則f（1.5）＝___________．

三、解答題：本大題共6小題，共76分．

17． （13分）圓C過點A（1，1），B（－2，4），且圓心在直線2x－y＋5＝0上，求圓C的方程．

（Ⅰ）求a·b－c·d的取值范圍；

（Ⅱ）若函數(shù)f（x）＝｜x－1｜，比較f（a·b）與f（c·d）的大小.

19． （13分）已知傾斜角為45°的直線l過點A（1，－2）和點B，其中B在第一象限，且AB＝3．

（Ⅰ）求點B的坐標；

（Ⅱ）若直線l與雙曲線C：－y2＝1相交于不同的兩點E，F(xiàn)，且線段EF的中點坐標為（4，1），求實數(shù)a的值．

20． （13分）如圖1，一吊燈底部圓環(huán)直徑為2 m，通過拉鏈BC，CA1，CA2，CA3（A1，A2，A3是圓上三等分點）懸掛在B處，使底部圓環(huán)保持在水平狀態(tài). 圓環(huán)距天花板垂直距離為2 m．

（Ⅰ）為了使拉鏈總長最短，BC應(yīng)設(shè)計多長？

（Ⅱ）為了安全與美觀，在圓環(huán)上設(shè)置A1，A2，A3，…，An（n≥4）個等分點，并仍按上述的方法連結(jié)，若仍要求拉鏈總長最短，相對（Ⅰ）中C點位置，此時C點位置是上升還是下降，說明理由．

21． （12分）如圖2，過橢圓＋＝1（a＞b＞0）的左焦點F任作一條與兩坐標軸都不垂直的弦AB，若點M在x軸上，且使MF為∠AMB的內(nèi)角平分線，則稱點M為該橢圓的“左特征點”．

（Ⅰ）求橢圓＋y2＝1的“左特征點”的坐標；

（Ⅱ）試根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論猜測：橢圓＋＝1（a＞b＞0）的“左特征點M”和該橢圓左準線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

22． （12分）如圖3，直線y＝x與圓x2＋y2＝1的交點為A1，過A1作y軸的平行線交y＝的圖象于一點，過這點作x軸的平行線交y＝x于A2，過A2作y軸的平行線交圓于一點，過這點作x軸的平行線交y＝x于B1，……，由此類推，可得直線y＝x上的點列A1，A2，A3，…，An，An＋1，…，

（Ⅰ）設(shè)點An的橫坐標為an，試用an表示an＋1；

（Ⅱ）求數(shù)列｛an｝的通項公式an；

（Ⅲ）若數(shù)列｛bn｝滿足，b1 ＝1，bn＋1＝，試證：2n＋1an＜π＜2n＋1bn．

參考答案見P62