《絕對值》教學設計

張　青

理解教材

絕對值是有理數的重要概念之一，在學習絕對值之前，學生已經學習了負數、數軸和相反數，學生在小學學習了非負有理數，了解了非負有理數的概念、性質及運算，為學習有理數奠定了基礎.絕對值與初等數學的許多知識和方法相聯系，有著廣泛和重要的應用.(1)有理數的大小比較.有了絕對值的概念后，有理數之間的大小比較就方便多了，特別是兩個負數的大小比較，只比較絕對值即可，不必在數軸上表示負數后再進行比較.(2)求數軸上兩點的距離.數a在數軸上表示的點到原點的距離為|a|，在數軸上表示數a和b的兩點間的距離為|a-b|，這對“函數”部分的學習是非常重要的.(3)有理數的運算.一個有理數實質上它包含兩部分，一是符號，二是絕對值，有理數的運算在確定了結果的正負號后，剩下的問題就是絕對值的運算了.(4)應用絕對值的非負性.一個有理數的絕對值是一個非負數，這一性質有著重要的應用.如“已知|a-3|+|b+2|=0，求a-b的值”，就是這一性質的直接應用.從前面的四點分析中，我們不難看出，絕對值在整個數與代數部分中有著重要的地位，應用非常的廣泛，是后續學習的重要基礎，起著承上啟下的作用.

教學目標

1.會解釋絕對值的“幾何”意義和“代數”意義，會求出一個數的絕對值；

2.結合實例，并借助數軸上的點與原點的距離來探索絕對值的有關問題；

3.注意思考的周密性，要考慮到問題可能出現的各種情況.培養嚴謹、認真的學習態度.

教學重點

絕對值的意義.

對于絕對值的意義“在數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記作|a|.”可結合數軸體會絕對值符號的形象意義.一個數的兩旁劃上兩條豎線，象征這個數的絕對值是數軸上兩條豎線間的距離.它的距離是多少，絕對值就是多少，當然距離不能為負，故任意數的絕對值不能為負，也說明絕對值有非負性.對于絕對值的意義：“一個正數的絕對值是它本身；0的絕對值是0；負數的絕對值是它的相反數”.可通過復習有關字母表示數的知識，并在列舉大量借助數軸求正數、負數、零的絕對值的基礎上，啟發學生歸納出絕對值的這個意義，

-a(a≤0).在許多參考資料中，都把前面那個絕對值的意義稱為絕對值的“幾何”定義，把后面那個絕對值的意義稱為絕對值的“代數”意義.要加強變式訓練，從正、反兩個方面引導學生理解絕對值的意義，培養學生的逆向思維能力，應多進行諸如“已知一個數的絕對值是5，求這個數”方面的訓練.

教學難點

難點1：數的絕對值是怎么回事.

在生產生活實踐中，常遇到這樣的問題：規定向東為正，甲車向東行駛了8千米，記作8千米，乙車向西行駛了8千米，記作-8千米，如果不考慮方向，我們說，兩車都行駛了8千米路程.這里的8叫做+8的絕對值，也叫做-8的絕對值.記作|+8|=8，﹟-8|=8.畫在數軸上表示如圖1所示，原點為出發點，OA表示的是甲車行駛的路程，OB表示的是乙車行駛的路程.所以一個數的絕對值就是數軸上表示這個數的點到原點的距離.

圖1難點2：絕對值的意義.

由于算術數的影響，在有理數意義的學習中，易出現“帶有負號的數就是負數”的思維定勢的影響，從而對“如果a<0，那么|a|=-a”難以理解，因此，使絕對值意義的學習形成難點.具體突破措施祥見本節教學重點.

絕對值是初等數學最重要的概念之一，也是難點之一.它從七年級的有理數一直到高中的復數模，隨著教程不斷加深而提高，因此，對絕對值的認識要遵循循序漸進、不斷深化的原則，結合有理數的大小比較、有理數的運算、根式等內容，分階段分層次進行認識，不可盲目拔高.本節內容學習中只要能解決具體數的絕對值問題即可，對學有余力的學生可涉及字母的絕對值.

教學過程

一、認識絕對值的“幾何”意義(有些參考資料上也稱作“絕對值的定義”)

1.(1)數軸上表示-12的點到原點的距離是( ).

A.-12 B.|-12| C.-2 D.2

(2)數軸上表示3.5的點到原點的距離是( ).

A.|3.5| B. -3.5 C.0 D.無法確定

思考：教育和心理學的研究表明：當學習的材料與學生已有的知識和生活經驗相聯系時，學生對學習才會是有興趣的.本題中的“距離”是學生生活中熟悉的概念，在數軸上表示點是學生應用已有的知識解決問題，這樣從學生熟悉的現實情境和已有的知識經驗出發，能激發學生的探究欲望和學習興趣.

觀點：在學習絕對值的概念時，由于是數軸上表示的點到原點的距離，從而使學生對絕對值的概念有了感性認識.

2. 問題：數軸上表示數a的點到原點的距離是( ).

A.a B.|a|

C.-a D.無法確定

思考：本題是在上題基礎上的延續，是在數軸上，由表示具體數的特殊點到原點的距離，拓展為由字母表示數的一般點到原點的距離.本題放給學生研討解答，教師巡視指導.

3.絕對值的“幾何”意義：在數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記作|a|.

我的思考：對概念的理解有一個過程，由于學生認知基礎和接受能力的差異，對絕對值的記作方式部分學生接受起來會有難度，教師可充分借助數軸，多列舉幾個例子來說明.

二、認識絕對值的“代數”意義(有些參考資料上也稱作“絕對值的性質”)

(1)數軸上表示+3的點到原點的距離是，表示0.8的點到原點的距離是，表示212的點到原點的距離是.

觀察第(1)小題的結論，你有什么發現，用語言表述出來，你能用一個式子來表示嗎?

(2)數軸上表示-1.6的點到原點的距離是，表示-2008的點到原點的距離是，表示-34的點到原點的距離是.

觀察第(2)小題的結論，你有什么發現，用語言表述出來，你能用一個式子來表示嗎?

(3)數軸上表示0的點到原點的距離是.

觀察第(3)小題的結論，你有什么發現，用語言表述出來，你能用一個式子來表示嗎?

(4)把第(1)、(2)、(3)小題的結論完整的用語言表述出來，你能用一個式子來表示嗎?

2.學生展示結論

思考：由第(1)小題到第(4)小題這個過程，是將問題一般化的過程，在這個過程中，使學生理解一個數學結論是怎樣獲得的，通過這個過程學習和應用數學.在這個探究的過程中，學生頭腦中已有的不規范的數學知識和數學學習體驗升華為科學的數學結論，從中感受數學發現的樂趣，體驗成功，增進學好數學的信心.

觀點：“學貴有疑”.“疑”(問題)既能讓學生在心理上感到無所適從，也能使學生產生強烈的認知沖動.在學生的“最近發展區”層層設疑，使學生能借助已有的知識、經驗、方法，將新知識同化，這樣學生才是真正的探索者，學生在問題的意識驅動下，會產生積極的探究愿望.

3.絕對值的“代數”意義

結論：一個正數的絕對值是它本身；零的絕對值是零；負數的絕對值是它的相反數.用式子表示是：若a表示一個有理數，則|a|=a(a>0)

思考：(1)用文字語言和符號語言兩種形式描述和呈現絕對值的“代數”意義，對學生而言是一種有效地獲得對結論本身深入理解的方法.(2)數學語言有文字語言、符號語言和圖形語言，對于絕對值“代數”意義的文字語言和符號語言，學生對文字語言掌握的會好些，對于絕對值的符號語言形式，學生有個熟悉理解的過程，在具體的題目中可反復對照與其相應的式子.

觀點：在用字母符號來表示數的絕對值時，學生對絕對值性質的認識從感性階段上升到了理性階段.在這個過程中，滲透了對應思想、分類思想，還滲透了由具體到抽象的概括的方法.

三、與絕對值有關的問題

解答下面各題

1.求下列各數的絕對值

-112，112，365，-2008，-(-5).

2.已知一個數的絕對值是7，求這個數.

3.已知|x|=35，則x=.

4.有沒有絕對值是-2的數?

思考：通過具體題目的解答，加深學生對絕對值性質的理解，能選擇正確的方法解答各個題目.第2、3小題答案不唯一，學生中往往有遺漏的情況，而第4小題滿足題意的數不存在，個別學生不理解，怎么會不存在呢?出現上述情況，主要還是對絕對值意義沒有真正理解.教師在此給與恰當的點撥釋疑.

四、絕對值的內涵和外延

內涵：任何數都有絕對值.

由絕對值的意義，我們得到：正數的絕對值是它本身；零的絕對值是零；負數的絕對值是它的相反數.即：當x>0時，|x|=x；當x=0時，|x|=0；當x<0時，|x|=-x.

外延1：絕對值有非負性.

無論是從絕對值的“幾何”意義，還是從絕對值的“代數”意義，都揭示了絕對值的一個重要特征——非負性.即：對于任何有理數a，總有|a|≥0.因此，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則-a≥0，也即a≤0，此時a是一個負數，這是理解的難點，尤其是對關于若|a|+|b|=0，則a=b=0的這樣一個式子的重要認識.

外延2：絕對值的平方性.

若a為有理數，則有|a|²=a².

觀點：對知識的學習，不僅要知其內涵，更要知其外延，從中使我們明確，不能僅滿足于知識的表面結構和特征，而更應該進行深入的分析，特別是外延2，實際上是式子|a|=a(a>0)

0(a=0)

-a(a<0)的變式，可是我們往往忽略或沒有想到.引導學生對概念、公式、法則或定理等進行內涵、外延的分析，是對學生學法的重要指導，培養學生養成良好的分析問題的習慣.

五、絕對值與日常生活

問題：正式足球比賽對足球的質量有嚴格的規定.下面是6個足球的質量檢測結果.用正數記超過規定質量的克數，用負數記不足規定質量的克數.檢測結果：-25，-10，+20，-30，+15，+40.請指出哪個足球的質量好一些，并用絕對值的知識進行說明.

認識：數學課程標準研制組編寫的“全日制義務教育《數學課程標準》(實驗稿)解讀”第160頁：面對實際問題，能夠主動嘗試著從數學的角度運用所學的知識和方法尋求解決問題的策略，是數學應用意識的重要體現，也是能否將所學的知識和方法運用于實際的關鍵.

六、高效練習，鞏固深化

1.完成教材隨堂練習題目.

2.補充(學有余力學生完成)

(1)(2007年長沙市數學中考試題)如圖2，點A、B在數軸上對應的實數分別為m、n，則A、B間的距離是 .(用含m、n的式子表示)

思考：去掉絕對值常用的方法有：利用絕對值的“幾何”意義、利用絕對值的“代數”意義、利用數軸信息(如第(1)、(2)題)；去掉絕對值還有些特殊的方法，如利用絕對值的非負性(如第(3)題)、分類討論(如第(4)、(5)題)等，要結合具體題目，選擇簡便、恰當的方法解答.

觀點：由于學生還沒有學習“用字母表示數”、“列代數式”等知識，所以，補充的5個題目對于部分學生而言，可能會有一定難度，師生共同研討解答，教師多給學生以方法上的指導，具體解答由學生來完成.

七、課堂小結

1.知識點

(1)用語言敘述絕對值的“幾何”意義，舉例說明；

(2)用式子表示絕對值的“代數”意義，舉例說明；

(3)舉例說明，任何數都有絕對值嗎?

(4)如何理解絕對值的非負性.

2.數學思想方法

(1)分類思想；

(2)化歸思想；

(3)數形結合思想.

3.思維方式

(1)逆向思維；

(2)發散思維.

4.知識遷移

(1)數軸；

(2)運用絕對值解決實際問題.

5.情感、態度、價值觀

(1)勤學善思、樂于合作；

(2)嚴謹、周密、認真的學習態度；

(3)數學的符號美、簡約美.

觀點：課堂小結是一節課學習的升華和深化，是非常重要的一個環節.課堂小結，不是單一知識點的羅列，還應從數學思想方法獲取、技能提升、能力發展、學習習慣培養、學習方法的改進等方面進行梳理和反思.學生剛升入中學時間不長，對課堂小結，有的學生不是高度重視、有的學生不知如何進行小結、有的學生還可能認為課堂小結是老師的事，自己聽聽就是了，等等，什么樣的情況都可能有，所以，教師要在初一學習的起始階段，結合課堂教學，向學生說明課堂小結的重要性，教給學生如何進行課堂小節，這也是對學生能力培養的一個重要方面.

教有所思

絕對值是有理數的重要概念之一，本節課的學習主要把握好兩條“線”. 一條“線”是知識線. 知識線中又包含兩部分內容，一是知識的內涵，即絕對值的“幾何”意義和“代數”意義；二是知識的外延，即絕對值的非負性和絕對值的平方性. 另一條“線”是思維方法線. 包括數學思想方法和思維方式. 學習“線索”、層次、環節清晰和明確，學生的學習才不會有負擔，數學學習才會變得“簡單”、實用. 所以教材只使教師教學的資源和載體，教師要創造性地使用教材，將其二度開發.

這里送給老師們一個小故事，愿對老師們有所啟迪.

三個抄寫員

黎錦熙是我國著名的國學大師. 民國頭10年他在湖南辦報，當時幫他謄寫文稿的有3個人.

第一個抄寫員沉默寡言，只是老老實實地抄寫文稿，錯字、別字也照抄不誤，后來，這個人一直默默無聞. 第二個抄寫員則非常認真，對每份文稿都先進行認真仔細的檢查然后才抄寫，遇到錯字、病句都要改正過來. 后來，這個抄寫員寫了一首歌詞，經聶耳譜曲后命名為《義勇軍進行曲》. 他就是田漢. 第三個抄寫員則與眾不同，他也仔細看每份文稿，但他只抄寫與自己意見相符的文稿，對那些意見不同的文稿則隨手扔掉，一句話也不抄. 后來，這個人建立了以《義勇軍進行曲》為國歌的中華人民共和國. 他就是毛澤東.

作者簡介：張青，1966年1月生，中學高級教師. 主要研究初中數學課堂教學研究. 曾先后獲得齊魯名師、山東省教學能手、山東省優秀教師、濰坊市跨世紀學術技術帶頭人、濰坊市普通中小學十佳教師、全國初中數學競賽優秀指導教師等稱號. 舉行市、省、國家級公開課、觀摩課三十余節.“課堂教學中的數學探究活動”、“正確處理新課程課堂教學的三個關系”等十余篇論文發表在《中學數學雜志》、《當代教育科學》等報刊上?主編書籍《走在社會實踐路上》、《數學的探究與創新》、《學科教學創新支點——數學》等十余本，參編《初中數學基礎訓練》、《高效學習法(數學)》等教學用書三十余本. 主持的全國教育科學“十五”規劃教育部重點課題分課題“綜合實踐活動課程資源整合實驗研究”于2006年9月通過鑒定并在全國范圍內推廣. 現主持研究的山東省教育科學規劃“十一五”重點課題《培養學生遷移意識，提高數學應用能力(編號：115JG21)》，已取得初步成效，受到業內同行的廣泛關注.

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