小數的起源與發展

房元霞

美國數學史家卡約利(F.Cajori)認為十進小數是近代數學史上關于計算基礎方面的三大發明之一，所以，小數(文中“小數”均指“十進小數”)的出現是數學史上的一件大事，了解小數的發展歷史于我們的數學教育是非常有益的.

我國是最早采用十進位值制計數的國家. 這種計數法使得我國古代在數值計算方面長期處于領先地位，小數也是我國最早發明并運用的，它經歷了一個較長的發展歷程.

小數是在實際度量和整數運算(如除法、開方)的需要中產生和發展起來的. 隨著社會的發展，對度量精度的要求逐漸提高，反映在數學上，就是對數量表示的精確程度要求的提高. 開始，人類只能用整數表示數量，繼而在所表示的數量的末尾附注“有余”、“有奇”或“強”、“弱”等字樣，以表示該數量與實際量之間的差異，當需要用數來比較精確地表明這種差異的時候，就逐漸形成了兩種表示方法：一種是用分數來表示不足整數的剩余部分；另一種是發展度量衡系統，采用更小的度量衡單位來表示有關的量. 我國古代較早地形成了占主流的十進制單位系統. 劉徽在注解《九章算術》時，長度的記法采用的單位是：丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽，忽是最小的單位，在計算中他把忽做為單位，以下那些沒有明確單位的數就是小數，劉徽稱作“徽數”，或者把它舍去，或者化成簡單分數，或者用十進分數表達. 劉徽是我國歷史上目前所知最早應用小數的數學家. 可惜的是他沒有對計數法稍加改進，把小數推到現代的水平，反而把十進分數作為一般的分數進行通分約分.

劉徽以后，有些天文學家和數學家從不同的角度也采用了這種科學的小數計數法. 南朝劉宋著名科學家何承天編著的《宋書》律歷志部分，大量地記述了如

十一萬八千二百九十六_二十五(1148296.25)

九萬四千三百五_十七(94305.17)

這樣的數，用附在整數位后面的小字來表明小數，這大概是數學史上最早的小數表示法了.

宋代的數學家秦九韶的《數書九章》中，不僅有大量的小數的運算，而且他對小數的記法也十分先進：用有關文字標明一個籌算數碼的個位數，清楚地把整數部分和小數部分區分開來. 如在卷6“環田三積”的運算中，得出數“三十二萬四千五百六步二分五厘”(324506.25步)，他在演算中用籌算記為

用“余”字明確表示該位以后皆是小數，“余”字無疑起著現代小數點同樣的作用. 他還在卷12和卷13中使用了0.8，0.5等純小數.

與秦九韶幾乎同一個時代的數學家李冶在用天元術(我國古代求一元高次方程的方法)解決問題時，也很明確地表示在運算中所遇到的小數. 如方程348-248x-0.5x²=0記為

其中“○ ”就是0.5. (天元術中在常數項旁邊注一“太”字)

由此可見，宋元時期，我國在小數的記法上不僅指明了數的個位，區別出整數部分和小數部分，而且對于純小數，還寫上了我國特有的“○”，表示得十分清楚. 由于我國古代籌算歷來是對齊數位進行的，所以小數的運算也是不成為問題的. 因此可以說，我國的小數在宋元時期已發展到現代的水平了，與現在相比，僅是沒采用小數點的記號罷了.

世界上，古印度的數學家也在開方得不到整數根時使用過十進分數. 十二世紀以后，歐洲數學家開始采用十進分數，但沒有形成系統的方法，也不夠普遍. 到了1585年，比利時的一位工程師和學者斯特文(S.Stevin)出版了一本僅有7頁的小冊子《論小數》(Ladisme)，詳細地介紹了小數的意義，并且把小數推廣到全部算術運算上去，從而對小數的推廣、普及工作貢獻很大. 斯特文表示小數的方法是在整數的最末一位數字后邊加上一個圓圈，圈中寫一個“0”字，以下每位小數之后都加一個圓圈，圈內依次寫1，2，3，…，用以指明每個數字的位數. 例如35.914寫作359①1②4③. 這種表示形式仍是很笨拙，特別是用于除法運算比較麻煩，于是創造合適的小數的記法提到了日程上來了. 有的數學家用一撇把小數部分分開，有的數學家在小數部分的數字下面劃一橫線，也有數學家用一垂直線將整數部分和小數部分間隔開，等等. 1593年，德國數學家克拉維斯(C.Clavius)的著作中首先出現了小數點，并在歐洲逐漸被采用.

小數點在我國最早出現在1723年的著作《數理精蘊》里，只是小數點是記在個位數的右上方的，與現在記法略有不同. 其實，《數理精蘊》中的記法并未引起我國學術界的注意，所以在較長的時間內，對于十進制小數的記法一致很混亂，直到十九世紀末才普遍采用了小數點. 至此，小數在我國獲得了完全勝利.

參考文獻

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