方程：永遠的好幫手

徐章韜　賈志剛　徐京榕

1 引言

我們生活的世界充滿著未知因素，方程正是已知通往未知的橋梁，是人們認識物質運動規律的好幫手. 方程的歷史源遠流長，可以追溯到公元2000多年. 所謂“古典代數”主要是研究方程的解法的. 歷史上，方程曾經是代數研究的中心課題，方程的解法曾作為代數的基本特征，而被長期保留. 直到17世紀，法國哲學家、數學家笛卡還認為：“一切問題可以轉化成數學問題，一切數學問題可以轉化成代數問題，一切代數問題可以化成方程求解的問題. ”當代數學大師陳省身曾談到什么是好的數學，什么是不好的數學時，特別提到方程永遠是好的數學. 中科院院士張景中先生成功地用導數定義了導數，使導數概念變得更容易^[1]. 方程的理論與方法是科學大廈的堅實基礎. 對于新的一代，方程的思想是必須掌握的重要數學思想，是解決很多實際問題的有力工具. 比如，組合問題由于情形復雜，很傷腦筋，但方程能幫助我們有序思考，化難為易. 下面介紹一個利用方程解決一個組合問題的實例，并引出一段趣話.

2 實例

設計一種方法.

(1)把一個正方形，不重復不遺漏地分成8個正方形(正方形的大小可以不同)；

(2)又問如何按要求分成31個正方形；

(3)把一個正方體分成55個立方體.

分析與解 利用方程有序地思考，并從簡單的情形中找到模式. 最自然的想法莫過于把正方形一分為四，再任意選取一個一分為四，如此操作，得到的正方形個數為1，4，7，10，等等. 這是一個等差數列，不難得到31個正方形. 但這種做法不能形成模式，不能遷移到對問題(1)的解決. 我們要尋的是一般規律，不僅對分成8、31個正方形適用，也要對分成若干個正方形也適用. 這樣問題才算圓滿解決了. (1)不妨設，待分割的正方形的面積為S，S顯然在1，4，9，…，n²中取值. 顯然割成的小正方形的大小、個數均未知. 1.不妨設單位正方形有x個，邊長為2的正方形有y個，則有方程x+y=8

x+4y=S，經計算無論S取何值，y都沒有整數解，從而這種分割方式不存在. 分割方式不存在只是說明了這種組合不存在，方程還是個好幫手. 2.不妨設單位正方形有x個，邊長為3的正方形有y個，則有x+y=8

x+9y=S，經計算當S=16時，x=7，y=1. 如圖1，任意選出一個邊長為3的正方形，剩下的便是7個正方形了. 3.考慮一般情形，設邊長為m的正方形有x個，邊長為的正方形有y個，則x+y=8

mx+ny=S，適當選取m，n，S的值，使x，y為整數，就是一種組合方式. 4.若分解成的正方形有三種型號，有單位正方形x個、邊長為2的正方形y個、邊長為3的正方形z個，則x+y+z=8

x+4y+9z=S，當S=25時，有一組解x=4，y=3，z=1，即把邊長為5的大正方形分成4個單位正方形，3個邊長為2的正方形，1個邊長為3的正方形. 5.一般情形則是分解成的小正方形的型號不定，個數不定，最后歸結為一個不定方程. (2)按上述算法，可把邊長為8的大正方形分解成20個單位正方形，11個邊長為2的正方形；或25個單位正方形，3個邊長為2的正方形，3個邊長為3的正方形. 分割組合的方式不唯一. (3)按上述算法，不妨設，待分割的立方體的體積為V，分解成了x個單位立方體，y個邊長為2的立方體，則x+y=55

x+8y=V，當V=125時，x=45，y=10，即把邊長為的5的立方體分解成45個單位立方體，10個邊長為2的立方體.

3 趣話

波利亞說：“一個有意義題目的求解，為解此題所花的努力和由此得到的見解，可以打開通向一門新科學，甚至通向一個科學新紀元的門戶.”^[2]此言不虛，上述實例可以作注. 對上述實例中的分割結果作點約束，就得到正方分割：把正方形或矩形分割成邊長不等的小正方形. 1936年，英國劍橋大學三一學院的四名學生塔特(Tutle)、斯通(Stone)、布魯克斯(Brooks)和史密斯(smith)，同時對正方分割問題發生了興趣并開始了各自漫長而成功的探索歷程. 幾十年過去了，當年的大學生通過對正方形的研究，后來都成了蜚聲數壇的組合數學專家和圖論專家. 他們的研究成果被成功運用電子、化學、建筑學、運籌學、通訊科學和計算機等多種學科，成為造福人類的有力工具^[3]. 說來也巧，他們當年研究這個問題時，也用到了方程這個工具. 方程思想實在奇妙.

解數學題是一個創造過程，解難題是比較大的創造、解容易的題也是小的創造，關鍵是如何走上創造的道路. 著名物理學家、諾貝爾獎獲得者費曼多次說，正因為看到了cos20°cos40°cos80°=18，覺得很是奇怪，大大激發了他學習數學的興趣. 這個題目對他的影響，他一直難忘. 一個人在學生時代的旨趣，對其一生將產生難以估量的影響. 我們在做習題訓練時，若多做些探究、引申推廣，學會從多種角度看問題，定會打開一扇門，開辟一片屬于我們自己的領域.

參考文獻

[1] 張景中.把高等數學變得更容易[J].高等數學研究，2007，(6).

[2] [美]喬治·波利亞，歐陽繹譯.數學和發現[M].北京：科學出版社，1982.

[3] 張遠南.未知中的已知[M].上海：上海科學普及出版社，1990.

作者簡介：徐章韜，湖北京山人，華東師范大學數學系博士研究生，主要研究教師教育、數學史與數學教育和競賽數學. 發表學術論文40余篇.

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”