談對折問題

陳　光

近年來，隨著新課標的實施，對折問題，越來越受到人們的重視，以對折問題為背景的題目，經常出現于全國各地中考試題、競賽試題中. 對折問題，它通過日常生活中人們所喜愛的普普通通折紙，隱含了大量的數學知識，體現了數學的妙用. 這些題目，能夠訓練學生的動手操作能力，培養學生的數形結合思想方法，發展學生想象能力.

其實，在新課標課本中，幾何的許多重要定理，如：三角形內角和定理，等腰三角形性質定理，圓的垂徑定理等，都是通過對折紙片來驗證的. 通過對折，利用對稱性質，能解決許多幾何問題，現從六個方面，談對折問題.

1 幾何證明題中的對折問題

在初中幾何證明題中，通過對折矩形紙片，利用對稱性質，證明如“兩線段相等，兩個角相等”之類的題目隨處可見，這樣的題目，能夠訓練學生的動手操作能力、想象能力.

圖1例1 把一張矩形紙片，如圖1中那樣對折，重合部分是等腰三角形嗎?為什么?

分析 沿對角線BD對折后，因為△BDC≌△BDE，所以∠2=∠3. 從AD∥BC，得到∠1=∠2，由∠1=∠3可得BF=DF，故△BDF是等腰三角形.

將矩形ABCD沿對角線BD對折，△BDC和△BDE關于對角線BD成軸對稱圖形，對角線BD所在的直線，是這兩個三角形的對稱軸，對折后這兩個三角形全等. 中考中，利用上圖，通過對折，根據軸對稱性，證明兩線段相等，兩個角相等試題，比比皆是.

如哈爾濱市中考題：如圖1，將矩形紙片ABCD沿對角線BD對折，使點C落在點E處，求證：AF=EF. 呼和浩特市中考題：如圖1，△BDE是矩形紙片ABCD沿對角線BD對折得來的，圖中(包括實線、虛線在內)共有幾對全等三角形?為什么?

將矩形紙片沿對角線對折，利用對稱性質，得到兩個三角形全等，根據全等三角形性質，對應角相等，對應邊相等，推得其它三角形也全等. 可見，對稱性質是對折問題的基本原理，利用對稱性質，能解決幾何證明題中的對折問題.

2 幾何計算題中的對折問題

通過對折矩形紙片，根據對稱性質，利用勾股定理，結合已知條件，建立方程，能解決幾何中計算問題.

圖2例2 如圖2，對折矩形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，折痕AE=55，且tan∠EFC=34，求矩形ABCD的周長?

分析 因為tan∠EFC=34，所以可設EC=3k，CF=4k，則EF=5k. 根據對稱性ED=EF=5k，AB=DC=8k，對折后，∠AFE=∠D=90°，從tan∠BAF=tan∠EFC=34得到BF=6k. 由于AD=BC=10k，折痕AE=55，利用勾股定理，列出方程，求得k的值，最后能求矩形ABCD的周長.

對折矩形的一邊，使頂點D落在對邊BC上，把△ADE對折變為△AFE，翻轉后，三角形位置發生變化，但這兩個三角形它們的對應角仍相等，對應邊仍相等，這體現了數學中轉化變換的思想. 通過對折，利用對稱性質，建立方程，培養了學生方程思想.

圖3例3 如圖3，將矩形ABCD沿對角線BD對折，使點C落在C′處，BC′交AD于點E，AD=8，AB=4，求重疊部分的面積.

分析 重疊部分為等腰△BDE，求出對角線BD=45，過點E作EF⊥BD于F，則BF=12BD=25，解得BE=5，利用勾股定理，列出方程，能求得EF=5，最后求出

S△BED=12BD·EF=12×45×5=10.

這樣，利用對稱性質，對折后兩個三角形全等，根據勾股定理，建立方程，解決幾何計算題中的求周長、求面積等問題，因此，勾股定理是解決對折問題的基本工具.

3 求最小值的對折問題

在數學中考、競賽試題中，經常見到，諸如點在線段上運動，求兩線段和最小值問題.

圖4例4 (古代數學問題——將軍飲馬)古希臘一位將軍要從A地出發到河邊(如圖4中直線L)去飲馬，然后再回到駐地B. 問怎樣選擇飲馬地點，才能使路程最短?

分析 作出點A關于直線L的對稱點A′，連結A′B交直線L于點C，點C就是所以求的點. 點A關于直線L的對稱點A′，利用對稱性質，把AC沿直線L對折成A′C，AC=A′C，使A′、C、B在同一條直線上，所以AC+BC距離最短.

例5 正方形ABCD的邊長為8，點E、F分別在AB、BC上，AE=3，CF=1，P是對角線AC上的一個動點，求PE+PF的最小值.

圖5分析 如圖5，作點F沿正方形ABCD的對角線AC的對稱點F′，F′必落在正方形的邊長DC上，則PF=PF′，當E、P、F′在同一條直線上時，PE+PF最小.

作出點F關于正方形對角線的對稱點F′，把PF轉化為PF′，這又滲透了數學的轉化變換思想，當PF′與PE構成一條線段，根據線段公理“兩點之間，線段最短”，能求出最小值. 利用對稱性質，也能解決求兩線段和的最小值問題.

4 直角坐標系中的對折問題

在直角坐標系中，利用對稱性質，解決幾何問題，也是中考經常出現的題目，一般在壓軸題中出現. 直角坐標系中的對折問題，能夠培養學生的數形結合思想，函數思想、能發展學生思維，提高探究問題能力.

圖6例6 如圖6，在矩形OABC中，A、C分別在x軸、y軸上，沿AC把△ABC對折，使點B落在坐標平面內的點D位置上，AD交y軸于點E，已知AE=5，B(k，2k)，求點D的坐標.

分析 沿AC把△ABC對折后，得到AD=AB. 由于∠1=∠2∠1=∠3，得到CE=AE，由于點B坐標為(k，2k)，在Rt△AOE中，列出方程k²+(2k-5)²=5²，求得k=4.過點D作DH⊥x軸于點H，利用相似形三角形的對應邊成比例，列出比例式，OEDH=AEAD，求得點D的坐標為(-125，245).

圖7例7 如圖7，把矩形紙片OABC放在直角坐標系中，使OA、OC分別落在x軸、y軸正半軸上，連結AC，使AC=4，OC=12OA，若將紙片OABC折疊，使A與點C重合，折痕為EF，求折疊后點B的坐標.

分析 沿EF折疊后，點A與點C重合，則AE=CE，設OE=x，則CE=8-x，列出方程x²+4²=(8-x)²，解得OE=3，作PN⊥BC于N，則Rt△CPN∽Rt△CFP∽Rt△PFN，列出比例式CP²=CN·CF，PN²=CN·NF，因此，折疊后點B的坐標為(165，325).

在直角坐標系中，利用對稱性質，根據勾股定理，建立方程. 借助相似形三角形的對應邊成比例，列出比例式. 求得點的坐標，解決幾何中對折問題，從中開拓了學生思維，有利于學生的函數思想、數形結合思想的形成.

5 生活中的對折問題

眾所周知，數學來源于生活，與實際生活又緊密相連，在實際生活中，對折問題，隨處可見.

例8 如何用矩形紙片，折出一個等邊三角形?

如圖8，在矩形ABCD中，AB

圖8 圖9如圖9，在矩形ABCD中，先把它沿MN對折展開，再沿AE對折，使點B落在折痕線MN上的G點處，最后沿EG線對折，就得到一個更大等邊三角形EAF.

通過生活中的折紙問題，訓練了學生的動手實踐能力，逐步形成了學生做數學、用數學的觀念，一題多法，激發了學生的求異思維，增強創新意識.

例9 如何通過對折正方形紙片，折出正方形各邊的黃金分割點?

黃金分割是幾何著名問題，在實際生活中，應用很廣，黃金分割點給我們以協調、勻稱的美感.

圖10如圖10，在正方形ABCD中，先沿EF對折，再沿AF對折，把AD邊折到AF上，折痕為AG，點G就是DC邊上的黃金分割點.

分析 沿著AG對折，則AF⊥GH，過點H作HC′∥BC，△ABF≌△GC′H≌△AD′H.設正方形的邊長為1，GH=AF=52D′H=BF=12，D′G=DG=5-12.

因此，按上面方法，通過對折，能折出正方形各邊的黃金分割點.

6 探究性的對折問題

探究性的對折問題，在中考試題、競賽試題也不斷涌現，成為近年來中考、數學競賽的熱點，題目設計方式越來越新穎. 探究性的對折問題能夠為學生提供更加廣闊的思維空間，增強學生創新意識，提高學生自主探究能力，符合新課標的目標要求.

例10 水平放置的正方體的六個面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如圖11是一個正方體的表面展開圖，若圖中“2”在正方體的前面，則這個正方體的后面是哪個字?

圖11分析 以第二列第一個面“0”為下底面，依次對折，0(下面)—0(左面)—6(后面)—快(右面)—樂(上面)，則這個正方體的后面是“6”字. 當然，還有不同的對折方法，本題通過把展開圖對折成正方體，發展了學生的空間想象能力，培養了學生自主探究精神.

例11 將正方形紙片由下向上對折，再由左向右對折，稱為完成一次操作如圖12.按上述規則完成五次操作以后，剪去所得小正方形的左下角.那么，當展開這張正方形紙片后，所有小孔的個數為多少個?

圖12分析 第一次操作，將正方形紙片分成4格，第二次操作，將正方形紙片分成4²=16格，依次類推，第五次操作，將正方形紙片分成45=1024格. 剪去所得小正方形的左下角，展開后，每4格有1個小孔，所有小孔的個數為45÷4=256.

將正方形紙片經過多次對折，訓練了學生的動手操作能力，發展想象能力，又把幾何的小方格與代數中的乘方問題巧妙地揉合在一起，培養學生的數形結合思想方法.

總之，對折問題，隨處可見，題目的設計越來越新穎，越來越受到大家的重視. 通過對折，利用對稱性質，能解決有關的幾何問題，對發展學生思維能力，增強創新意識，提高探究能力將起到了很好的作用. 隨著新課標的實施和探究性學習的開展，對折問題，將成為我們不斷研究、不斷探索的專題.

作者簡介：陳光，男，1965年1月出生，中學數學高級教師，二十多年一直從事初中數學教學研究工作，在各類數學刊物發表論文10余篇.

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