初中數學中的測量方案設計問題

郭　文　周冬梅

1 測量平面內不可直接到達的兩點之間的距離

問題1 圖1為公園內的人工湖，現要測量此人工湖兩旁A，B兩點的距離(A，B兩點不能直接到達)，請你根據所學知識，以卷尺和測角儀為工具設計一種測量方案.

要求：

(1)畫出你設計的測量平面圖；

(2)簡述測量方法，寫出測量數據(長度用a，b，c，…表示，角度用α，β，γ，…表示)；

(3)根據你測量的數據，計算AB間的距離.

方案設計1 利用等邊三角形知識.

(1)測量工具：卷尺，測角儀.

(2)測量平面圖：如圖2.

(3)測量步驟：

①用測角儀在A處測得∠BAC=60°；

②用測角儀在B處測得∠ABC=60°；

③用卷尺量出BC=a.

(4)根據等邊三角形的知識，可得A，B之間的距離為a.

方案設計2 利用全等三角形知識.

(1)測量工具：卷尺.

(2)測量平面圖：如圖3.

(3)測量步驟：

①在地面上取一點C，使C點與A，B兩點均可直接到達；

②用卷尺量出AC=b，并延長AC到D，使DC=b；

③用卷尺量出BC=a，并延長BC到E，使CE=a；

④用卷尺量出DE=c.

(4)根據三角形全等的知識，可得A，B兩點間的距離為c.

方案設計3 利用勾股定理的知識.

(1)測量工具：卷尺，測角儀.

(2)測量平面圖：如圖4.

(3)測量步驟：

①用測角儀在B處測得∠ABC=90°，

②用卷尺測得AC=a，BC=b.

(4)根據勾股定理可計算得AB=a²-b².

方案設計4 利用解直角三角形的知識.

(1)測量工具：卷尺，測角儀.

(2)測量平面圖：如圖4.

(3)測量步驟：

①用測角儀在B處測得∠ABC=90°；

②用測角儀在C處測得∠BCA=α；

③用卷尺測得BC=a.

(4)根據解直角三角形的知識，可得A，B兩點間的距離為a·tanα.

方案設計5 利用三角形中位線的知識.

(1)測量工具：卷尺.

(2)測量平面圖：如圖5.

(3)測量步驟：

①在地面上取一點C，使C點與A，B兩點均可直接到達；

②用卷尺量出AC=b，CB=a，并分別找出AC，CB的中點D，E；

③用卷尺量出DE=c.

(4)根據三角形中位線的知識，可得A，B兩點間的距離為2c.

問題2 如圖6所示為大運河的某一河段，先要測量這一河段的寬度(我們不能直接測量得到)，請根據所學知識，用適當的工具設計一種測量方案.

要求：

(1)畫出你設計的測量平面圖；

(2)簡述測量方法，寫出測量數據；

(3)根據測量數據，計算河的寬度.

圖6 圖7 圖8方案設計1 利用相似三角形的知識.

(1)測量工具：卷尺，測角儀.

(2)測量平面圖：如圖7.

(3)測量步驟：

①在河對面找一個特別明顯的標志點O；

②在河的這一側選點A，B，D，使AB⊥AO，DB⊥AB；

③確定DO和AB的交點C，用卷尺測得AC=a，BC=b，BD=c；

(4)根據三角形相似的知識，可以計算得出AO=acb.

方案設計2 利用解直角三角形的知識

(1)測量工具：卷尺，測角儀.

(2)測量平面圖：如圖8.

(3)測量步驟：

①在河對岸選一明顯的標志點A，在河這岸取兩點B，C；

②用測角儀測得∠ABC=α∠ACB=β；

③用卷尺測得BC的長為m米；

(4)根據解直角三角形的知識，可得河的寬度為mcotα+cotβ.

特別的，當α=β=60°時，利用等邊三角形的知識，當α=β=45°時，利用等腰直角三角形的知識.

2 求地面上某物體的高度

2.1 測量底部可直接到達的物體的高度.

問題1 在一次實踐活動中，某課題學習小組要測量學校旗桿的高度，如圖9，請你幫他們設計一種測量方案.

要求：

(1)畫出你設計的測量平面圖；

(2)簡述測量方法，寫出測量數據

(3)根據你測量的數據，計算旗桿的高度.

圖9 圖10 圖11方案設計1 利用陽光下的影子，根據同一時刻物高與影長成正比例的知識.

(1)測量工具：卷尺，標桿.

(2)測量背景：晴朗的天氣.

(3)測量平面圖：如圖10.

(4)測量步驟：

①測量旗桿的影長為AB=a；

②測量標桿的影長為CD=b；

③測出標桿的長為c.

(5)根據同一時刻物高與影長成正比例，算的旗桿的高度為acb.

方案設計2 利用標桿，根據三角形相似的知識.

(1)測量工具：卷尺，標桿.

(2)測量平面圖：如圖11.

(3)測量步驟：

①在觀測者與旗桿之間的地上直立一根高度適當的標桿；

②觀測者調整自己的位置，使旗桿的頂端、標桿的頂端與眼睛在一條直線上；

③測出觀測者與旗桿底端的距離BF=a，以及觀測者的腳到旗桿底端的距離FD=b.

④測出標桿的高度CD=c，以及觀測者的身高EF=d

(4)根據相似三角形的知識，可得旗桿的高度為ac-ad+bdb.

方案設計3 利用鏡子的反射，根據三角形相似的知識.

(1)測量工具：鏡子，卷尺.

(2)測量平面圖：如圖12.

(3)測量步驟：

①在觀測者與旗桿之間的地面上平放一面鏡子，在鏡子上做一個標記；

②觀測者看著鏡子來回移動，直到看到旗桿頂端在鏡子中的像與鏡子上的標記重合.

③用卷尺測量出觀測者的身高DE=a，以及觀測者與鏡子的距離DC=b，旗桿底部與鏡子的距離BC=c.

(4)根據相似三角形的知識，可得旗桿的高度為acb.

方案設計4 利用解直角三角形的知識.

(1)測量工具：卷尺，測傾儀.

(2)測量平面圖：如圖13.

(3)測量步驟：

①在測點D處安置測傾儀，測得旗桿頂部A的仰角∠ACE=α；

②測出測點D與旗桿底部B的水平距離DB=m；

③測出測傾儀的高度CD=h.

(4)根據解直角三角形的知識，可算得旗桿的高度為mtanα+h.

2.2 測量底部不可直接到達的物體的高度.

問題2 如果把問題1中的旗桿換成一座小山，請設計一個測量小山高度的方案. 如圖14.

要求：

(1)在圖14中畫出你測量小山高度MN的示意圖，標上適當的字母；

(2)寫出你的設計方案.

設計方案：利用解直角三角形知識.

(1)測量工具：卷尺，測傾儀.

(2)測量平面圖：如圖15.

(3)測量步驟：

圖14 圖15①在觀測點A處安放測傾儀，測得此時山頂M的仰角∠MCE=α；

②在觀測點A與小山間的B處安置測傾儀(A，B與M在同一條直線上)，測得此時山頂M的仰角∠MDE=β；

③量出測傾儀的高度AC=BD=h；量出AB之間的距離為m.

(4)根據解直角三角形的知識，可求得小山的高度MN為mcotα-cotβ+h.

數學測量方案設計問題的實踐活動，充分調動了學生的積極性. 在實踐活動的過程中，每一個學生都認真思考、積極參與，不僅培養了學生的觀察能力、動手能力、更重要的是培養了學生解決問題的靈活性、多樣性，增強了學生對數學的創新意識，讓學生理解到數學就在我們身邊，體現了數學在社會實踐中的應用價值.

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