由課本中“實驗與探究”引出的中考題

陳良俊　曾鳳菊

1 課本中的“實驗與探究”中的問題

1.1 原問題與解答

人教版義務教育課程標準實驗教科書八年級《數學》下冊第116頁“實驗與探究”中有如下問題(下稱原問題)：

如圖1，正方形ABCD的對角線相交于點O，O又是正方形A1B1C1D1的一個頂點，兩個正方形的邊長相等，那么無論正方形A1B1C1O繞點O怎樣轉動，兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形的面積的14，想一想為什么?

圖1 圖2 圖3要解決此題，可以先從特殊情況考慮，當正方形繞點O轉動到如圖2所示的位置，即A1O、C1O分別與正方形ABCD的對角線重合，此時兩個正方形重疊部分是△OAB，其面積顯然等于一個正方形的面積的14.

當正方形A1B1C1O繞點O轉動到如圖1所示的位置時，可以將一般情況轉化為特殊情況了解決.

方法1 如圖1，由題設易得∠AOB=∠BOF，OA=OB，∠OAE=∠OBF，△AOB≌△BOF，從而得S┧謀咝蜲EBF=S△AOB=14S┱方形ABCD.

方法2 如圖3，過O點分別作OG⊥AB，OH⊥BC，垂足分別為G、H，易證△OEG≌△OFH，從而得S┧謀咝蜲EBF=S┱方形OGBH=14S┱方形ABCD.

1.2 相關結論

如圖1，除了S┧謀咝蜠EBF=14S┱方形ABCD的結論外，還可以得到相關的結論，如：AE=BF，EB+BF=AB=2OB，∠OEB+∠OFB=180°，△AEO≌△BFO，△EBO≌△FCO等.

2 由原問題引出的中考題

2.1 增加背景圖形個數

圖4例1 (2006年晉江市中考試題)將n個邊長都為1cm的正方形按如圖4所示擺放，點A1、A2、…、A璶分別是正方形的中心，則n個這樣的正方形重疊部分的面積和為( ).

A.14cm² B.n4cm²

C.n-14cm²D.(14)琻cm²

分析 這道試題在原探究問題的基礎上，疊加了更多的正方形.要求n個這樣的正方形重疊部分的面積，必須解決兩個問題：

其一，每一個重疊部分的四邊形的面積是多少?這由上述的原問題可直接得到結論： 每一個重疊部分的四邊形的面積等于一個正方形的面積的14.

其二，有多少個重疊部分的四邊形?這實質上是從圖形中探求簡單的規律，由于兩個正方形有一個重疊部分，三個正方形有兩個重疊部分，依此不難得出： n個這樣的正方形有(n-1)個重疊部分.

所以，n個這樣的正方形重疊部分的面積和為n-14cm²，故選C答案.

2.2 變換背景圖形形狀

例2 (2007甘肅金昌市)一位同學拿了兩塊45°三角尺△MNK，△ABC做了一個探究活動：將△MNK的直角頂點M放在△ABC的斜邊AB的中點處，設AC=BC=4.

(1)如圖5，兩三角尺的重疊部分為△ACM，則重疊部分的面積為，周長為.

(2)將圖5中的△MNK繞頂點M逆時針旋轉45°，得到圖6，此時重疊部分的面積為，周長為.

(3)如果將△MNK繞M旋轉到不同于圖5和圖6的圖形，如圖7，請你猜想此時重疊部分的面積為.

(4)在圖7情況下，若AD=1，求出重疊部分圖形的周長.

圖5 圖6 圖7 圖8分析 原問題中旋轉的兩個背景圖形是正方形，這里將它們改成直角三角形，本質并沒有改變，解題思路也沒有變.直接由上面的結論得：圖5、6、7中兩三角尺重疊部分的面積是4， 易求得圖5中重疊部分圖形的周長是42+4，圖6中重疊部分圖形的周長是8.

第(4)問，要求圖7中重疊部分圖形的周長，關鍵是求出DM、GM的長度，如圖8，過點M分別作MP⊥AC于P、MQ⊥CB于Q，所以DM=GM=DP²+PM²=1²+2²=5，所以重疊部分圖形的周長為4+25.

2.3 變動背景圖形位置

例3 (2007山東臨沂市)如圖9，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上(直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF)，將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉.

圖9 圖10 圖11(1)在圖9中，DE交AB于M，DF交BC于N.①證明：DM=DN；②在這一旋轉過程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發生變化?若發生變化，請說明是如何變化的?若不發生變化，求出其面積；

(2)繼續旋轉至如圖10的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立?若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

(3)繼續旋轉至如圖11的位置，延長FD交BC于N，延長ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立?請寫出結論，不用證明.

簡析 當直角三角板DEF旋轉到圖10所在的位置時，從直觀上可以猜想結論DM=DN仍然成立.連結BD，易證△DBM≌△DCN.

當直角三角板DEF旋轉到圖11所在的位置時，同樣可以得到DM=DN.此時，∠MDN為直角，本質上與圖9一樣.

評析 這道試題在例2的基礎上，變換了旋轉的角度，設置新的問題.圖形位置變化了，并沒有改變原問題中隱含的數量關系，特別是在觀察圖3時，我們應該有敏銳的洞察力，要從表象中看出問題的實質：與圖1給出的信息完全一樣.

2.4 改變旋轉中心

例4 (2007四川資陽市)如圖12，已知為正方形ABD的對角線AC上一點(不與A、C重合)，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F.

(1) 求證：BP=DP；

(2) 如圖13，若四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉，在旋轉過程中是否總有BP=DP?若是，請給予證明；若不是，請用反例加以說明；

(3) 試選取正方形ABCD的兩個頂點，分別與四邊形PECF的兩個頂點連結，使得到的兩條線段在四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉的過程中長度始終相等，并證明你的結論 .

圖12 圖13簡解 ⑴ 解法1 在△ABP與△ADP中，利用全等可得BP=DP.

解法2 利用正方形的軸對稱性，可得BP=DP.

⑵ 不是總成立 .當四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉，點P旋轉到BC邊上時，DP>DC>BP，此時BP=DP不成立.

⑶ 連結BE、DF，則BE與DF始終相等.

在圖12中，可證四邊形PECF為正方形，顯然BE=DF；

在圖13中，可證△BEC≌△DFC. 從而有BE=DF.

2.5 猜想新結論

例5 (2006年雞西市)已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分線OM上有一點C，將一個三角板的直角頂點與C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB (或它們的反向延長線)相交于點D、E.

當三角板繞點C旋轉到CD與OA垂直時(如圖13)，易證：OD+OE=2OC.

當三角板繞點C旋轉到CD與OA不垂直時，在圖14、圖15這兩種情況下，上述結論是否還成立?若成立，請給予證明；若不成立，線段OD、OE、OC之間又有怎樣的數量關系?請寫出你的猜想，不需證明.

圖13 圖14 圖15簡析 由原問題中的結論，圖2中的結論仍成立.

證明 過C分別作OA、OB的垂線，垂足分別為P、Q.△CPD≌△CQE，DP=EQ ，OP=OD+DP，DQ=OE-EQ，又OP+OQ=2OC，即OD+DP+OE-EQ=2OC. 所以OD+OE=2OC.

由圖15中的線段大小關系易猜想出結論：OE-OD=2OC.

評析 本題在原問題的基礎上不僅將背景圖形作了改變，將正方形換成直角及三角板，而且圖形運動到的位置發生改變，因此得到的結論也隨之發生變化.那么在解決該問題時要把握問題的本質，在圖形變化中尋求不變量，在運動過程中把握不變的規律和結論，通過類比思維，由已有的結論猜想出相關的結論.

2.6 拓展圖形探究規律

例6 (大連2005)如圖16、圖17、圖18、…、圖n，M、N分別是⊙O的內接正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE、…、正n邊形ABCDE…的邊AB、BC上的點，且BM=CN，連結OM、ON.

(1)求圖16中∠MON的度數；

(2)圖17中∠MON的度數是，圖18中∠MON的度數是；

(3)試探究∠MON的度數與正n邊形邊數n的關系(直接寫出答案).

分析 本題提出的問題是探討∠MON的大小.從圖形的變化中可以看出，當正多邊形的邊數逐步增多過程中，∠MON隨之減小，而圖17與原問題的圖形非常類似，不妨從圖17入手，憑直覺可知∠MON=90°，事實上運用原問題中的方法，連結OB、OC，證△OMB≌△ONC，故∠MON=∠BOC=90°.

在此基礎上，用同樣的方法可以得到：圖16中的∠MON的度數就是BC邊所對中心角∠BOC的度數，即∠MON=∠BOC=360°3=120°，圖18中的∠MON=360°5=72°.依此類推，得出規律：正n邊形中的∠MON的度數可表示為∠MON=360°n.

評析 這是一道很好的開放性試題，它將原問題的題設與結論進行變換，探究新的結論，并將問題中的背景條件正方形拓展成正三角形、正五邊形、…正n邊形， 體現了數學問題中的從特殊到一般的辯證思想.命題者這一立意，除了有效考查學生簡單的推理能力，更好地考察了學生的猜想探究、類比歸納等能力，讓學生在解題過程中感受幾何圖形變化之美，體會圖形變化中不變的規律，題目難度不大，容易讓學生在探究發現過程中獲得成功的體驗.

作者簡介：陳良俊，1972，男，湖北省蘄春縣人，中學數學高級教師，武漢市學科帶頭人. 長期熱衷于數學教學研究. 先后在《中學數學》、《中學數學教與學》、《中學生數學》、《中小學數學》等雜志上發表文章20余篇.

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