“花開滿堂”又未“圓”

蔡衛(wèi)兵

為方便闡述，現(xiàn)將《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》2006年第5期“此處花開香滿堂”簡稱文^[1]，《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2007年第6期“一堂節(jié)外生枝的數(shù)學(xué)課”簡稱文^[2]，《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》2007年第6期“‘花開滿堂并未‘圓”簡稱文^[3]，原題：如圖1，正方形ABCD和正方形EFGC的邊長分別為a、b，用含a、b的代數(shù)式表示△DBF的面積.

1 原文概述

文^[1]表述了6個(gè)學(xué)生的不同解法，抓住正方形的本質(zhì)特征，凸顯轉(zhuǎn)化思想，結(jié)果是S△DBF=12a²，描述了學(xué)生在興趣的指引下思維大放異彩，產(chǎn)生了一連串精彩的回答. 文^[2]闡述了學(xué)生對原題的一個(gè)變式的自主探索，變式：如圖2，如果題目條件不變，求△AEG的面積. 學(xué)生大膽而熱情地表達(dá)自己的思維成果，尋求最佳解法，結(jié)果是S△AGE=12b²，充分關(guān)注學(xué)生解題的過程分析，總結(jié)提煉解法的本質(zhì)，可謂是一堂富有生機(jī)、充滿活力、體現(xiàn)創(chuàng)新精神的數(shù)學(xué)活動(dòng)課. 文^[3]重視了解題的結(jié)果分析，發(fā)現(xiàn)了原題與變式都出現(xiàn)題設(shè)條件過剩的共性問題，以此為契機(jī)，探究若正方形ABCD繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在什么情況下正方形EFGC的邊長不影響△DBF的面積，揭示了問題的本質(zhì)特征.

2 提取信息，拓展問題

非常明顯，上述問題只有當(dāng)點(diǎn)D在EC或EC的延長線上時(shí)，不論正方形EFGC的邊長如何變化，△DBF的面積都是12a²(定值)，體現(xiàn)了正方形和圖形對稱性的基本特征，那么對于其它的正多邊形是否有共性問題呢，由此產(chǎn)生的思維火花的碰撞，不正是培養(yǎng)學(xué)生的批判思維、探究能力和創(chuàng)新精神的最佳時(shí)機(jī)嗎?

問題1 如圖3，正△ABC和正△CDE，點(diǎn)A在EC邊上，若只知道正△ABC的邊長為a，能否用含a的代數(shù)式表示△ABD的面積?

問題2 若正△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在什么情況下正△CDE的邊長不影響△ABD的面積?

問題3 如圖4，正五邊形ABCDE和正五邊形A1B1CD1E1，點(diǎn)D在CD1上，若只知道正五邊形ABCDE的邊長為a，能否用含a的代數(shù)式表示△ADA1的面積?

問題4 如圖5，正六邊形ABCDEF和正六邊形A1B1CD1E1F1，點(diǎn)D在CD1上，若只知道正六邊形ABCDEF的邊長為a，能否用含a的代數(shù)式表示△AF1D的面積?你還能表示哪些類似于△AF1D的三角形的面積?

圖3 圖4 圖5結(jié)合“原題”與問題，明確目標(biāo)，類比聯(lián)想，靈活遷移，問題1，△ABD的面積轉(zhuǎn)化△ABC的面積=34a²；問題2，列舉各種情況圖形，只有當(dāng)點(diǎn)A在EC或EC的延長線上時(shí)，不論正△CDE的邊長如何變化為△ABD的面積都是34a²(定值)；問題3，連結(jié)CA1，△ADA1，的面積可轉(zhuǎn)化為△ADC的面積=14tan72°·a²；問題4，連結(jié)CF1，將△CF1D的面積轉(zhuǎn)化為△ADC的面積=32a²，還有圖5中的△BDE1的面積可轉(zhuǎn)化為△BDC的面積=34a²，△FDA1的面積可轉(zhuǎn)化為△FDC的面積=32a²，△EDB1的面積可轉(zhuǎn)化為△EDC的面積=34a²等等.

3 整合信息，深化問題

萊布尼茨(G.W.Leibniz)曾說過：“解題既要展示‘解的思維過程，又要探索‘解的內(nèi)部境界.”由于正多邊形的基本特征和目標(biāo)三角形與已知條件的差異性，通過兩條平行線間的距離相等轉(zhuǎn)化矛盾，從而發(fā)現(xiàn)如上所述的三角形面積與其中一個(gè)正多邊形的邊長無關(guān)，對于正七邊形、正八邊形等類似情形同樣成立(例如圖6中的△GDG1的面積可轉(zhuǎn)化為△GDC的面積=14tan540°7·a²，圖7中的△HDG1的面積可轉(zhuǎn)化為△HDC的面積=12tan67.5°·a²). 其實(shí)對數(shù)學(xué)家或好的問題解決者來說，一個(gè)問題的解決往往孕育著新問題的產(chǎn)生，正如文^[3]指出文^[1]、文^[2]中均未發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)正方形的邊長的題設(shè)條件過剩的共性問題，剖析上面習(xí)題，是否一定要有正多邊形過強(qiáng)的題設(shè)條件呢，從而又引發(fā)一個(gè)節(jié)外生枝且有價(jià)值的思考，正是培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性與深入性的好素材.

問題 能否適當(dāng)減弱正多邊形這個(gè)題設(shè)條件，使得類似上述圖形位置時(shí)的目標(biāo)三角形的面積與其中一個(gè)多邊形的各邊長無關(guān)?適當(dāng)改變條件，求目標(biāo)三角形的面積.

體會(huì)上述的解題思想和解題方法，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造平行線，利用同底等高轉(zhuǎn)化目標(biāo)三角形的面積為其中一個(gè)多邊形中的某個(gè)三角形的面積，事實(shí)上對于兩個(gè)相似的多邊形如下圖所示的情形都有類似的結(jié)論. 例如：圖8，若△ABC的面積為S，△ABC∽△CDE，則∠BAC=∠DCE，所以AB∥CD，△ABD的面積=△ABC的面積=S，圖9、圖10四邊形ABCD∽EFGC，則△BDF的面積=△BDC的面積.

4 總結(jié)信息，反思教學(xué)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)對學(xué)生鞏固知識、培養(yǎng)素質(zhì)、發(fā)展能力和促進(jìn)個(gè)性心理發(fā)展都具有極其重要的作用和意義. 總結(jié)文^[1]、文^[2]、文^[3]對這一習(xí)題的處理，其中所蘊(yùn)含的解題過程的擇優(yōu)性、典型習(xí)題的多變性和習(xí)題歸類的類比性是值得借鑒的. 既有問題解決的過程探究，又有結(jié)果分析的本質(zhì)揭示，充分暴露思維角度及認(rèn)知觀點(diǎn)，使學(xué)生的思維一直處于積極、活躍的狀態(tài)，無疑鍛煉學(xué)習(xí)主體參與活動(dòng)的靈活性和探究性. 但還需教師課前作進(jìn)一步的創(chuàng)新“預(yù)設(shè)”，充分發(fā)掘習(xí)題中的奇珍異寶，反復(fù)孕育，精心提煉，著意滲透，顯然可引導(dǎo)學(xué)生對問題作出具有個(gè)性特點(diǎn)的表征，使學(xué)生的思維逐漸朝著靈活、精細(xì)、新穎的方面發(fā)展，把數(shù)學(xué)的思想、精神內(nèi)化為學(xué)生個(gè)體的觀念、品質(zhì)，從而促進(jìn)學(xué)生有效而豐富的解題行為.

參考文獻(xiàn)

[1] 賴聞曉.此處花開香滿堂[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2006，(5).

[2] 蔣柏孟.一堂節(jié)外生枝的數(shù)學(xué)課[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2007，(6).

[3] 羅全民.‘花開滿堂并未‘圓[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2007，(6).

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