不等式組、一次函數聯姻定最值

劉　頓

不等式組與一次函數聯姻的試題是中考中的常見題型．此類題意在考查同學們綜合運用知識的能力和解決實際應用問題的能力．求解這類聯姻試題的關鍵，是根據題意找出數量間的不等和相等的關系，列出相應的不等式組和建立一次函數的表達式．然后利用不等式，確定取值范圍，運用一次函數的性質求解．為了方便同學們學習，現以2007年全國部分省市的中考試題為例加以說明．

一、成本最低

例1 （青島）某飲料廠開發了A、B兩種新型飲料，主要原料均為甲和乙，每瓶飲料中甲、乙的含量如下表所示．現用甲原料和乙原料各2 800 g進行試生產，計劃生產A、B兩種飲料共100瓶．設生產A種飲料x瓶，解答下列問題．

（1）有幾種符合題意的生產方案？寫出解答過程．

（2）如果A種飲料每瓶的成本為2．60元，B種飲料每瓶的成本為2．80元，這兩種飲料成本總額為y元，請寫出y與x之間的關系式，并說明x取何值時會使成本總額最低．

解：略．請參見本期第25頁．

二、費用最少

例2 （眉山）某縣響應“建設環保節約型社會”的號召，決定資助部分村鎮修建一批沼氣池，使農民用到經濟、環保的沼氣能源．幸福村共有264戶村民，政府補助村里34萬元，不足的資金由村民集資．修建A型、B型沼氣池共20個．兩種型號沼氣池的修建費用、可供使用戶數、修建用地情況如下表．

政府相關部門批給該村沼氣池修建用地708 m2．設修建A型沼氣池x個，修建兩種型號沼氣池共需費用y萬元．

（1） 求y與x之間的函數關系式．

（2） 既不超過政府所批的修建沼氣池用地面積，又使該村每戶村民都用上沼氣的修建方案有幾種？

（3） 若平均每戶村民集資700元，能否滿足所需費用最少的修建方案？

分析：費用y應該等于A、B兩種型號沼氣池費用的和，從而可求得y與x之間的函數關系式；由于幸福村共有264戶村民，而該村沼氣池修建用地為708 m2，這樣可以從表中獲取信息列出不等式組，確定修建A、B兩種型號沼氣池的具體方案；可以利用一次函數的性質求出費用最少的修建方案．

解：（1）依題意，得y與x之間的函數關系式為y＝3x＋2（20－x）＝x＋40．

（2）由題意可得20x＋3（20－x）≥264，

48x＋6（20－x）≤708．解得x≥12，

x≤14．即不等式組的解集為12≤x≤14．

因為x是正整數，所以x可取的值為12，13，14．

所以有3種修建方案：①A型12個，B型8個；②A型13個，B型7個；③A型14個，B型6個．

（3）因為y＝x＋40，y隨x的增大而增大，所以要使費用最少，則x＝12，最少費用為y＝x＋40＝12＋40＝52（萬元）．

村民每戶集資700元，與政府補助共計：700×264＋340 000＝

524 800（萬元）．而524 800＞520 000，所以每戶集資700元能滿足所需費用最少的修建方案．

三、利潤最大

例3 （河北）一手機經銷商計劃購進某品牌的A型、B型、C型三款手機共60部，每款手機至少要購進8部，且恰好用完61 000元的購機款．設購進A型手機x部，B型手機y部．三款手機的進價和預計售價如下表．

（1） 用含x、y的式子表示購進C型手機的數量．

（2） 求出y與x之間的函數關系式．

（3） 假設所購進的手機全部售出，綜合考慮各種因素，該手機經銷商在購銷這批手機過程中需另外支出各種費用共1 500元．

①求出預估利潤P（元）與x（部）的函數關系式．（注：預估利潤P＝預計銷售總額－購機款－各種費用）

②求出P的最大值，并寫出此時購進三款手機各多少部．

分析：共有A型、B型、C型三款手機60部，其中A型手機x部，B型手機y部，所以容易求出C型手機的數量；由購機款61 000元，再依據表中的信息可求出y與x的函數關系式；進而求出P與x的函數關系式，再由每款手機至少要購進8部的條件列出不等式組，從而確定x的取值范圍，并利用一次函數的性質求解．

解：（1） 因為某品牌的A型、B型、C型三款手機共有60部，所以用含x、y的式子表示，購進C型手機為（60－x－y）部．

（2） 由題意，得 900x＋1 200y＋1 100（60－x－y）＝ 61 000，整理得 y＝2x－50．

（3）①由題意，得 P＝1 200x＋1 600y＋1 300（60－x－y）－61 000－1 500，即P＝500x＋500．

②購進C型手機為60－x－y＝110－3x（部）．根據題意列不等式組，得

x≥8，

2x－50≥8，

110－3x≥8．

解得29≤x≤34．所以 x的取值范圍為29≤x≤34，且x為整數．

因為P＝500x＋500，k＝500＞0，所以P隨x的增大而增大．

所以當x取最大值34時，P有最大值，最大值為17 500．

此時，購進A型手機34部，B型手機18部，C型手機8部．

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文