有趣的換錢游戲

張泊寧

題目：設想甲有100元錢，乙也有100元錢.若甲將手中的 先給乙，甲就有50元，則乙就有150元.隨后乙再將手中錢的 給甲，乙就有75元，則甲就有125元……依此類推，請問：當交換到什么程度時，雙方手中的余額趨于穩定？如果每次轉移的錢數為總錢數的 、 、 呢？

思路探究：甲乙雙方開始交換前，甲手里有100元錢，乙手里有100元錢.

第一次交換后，甲有50元，乙有150元；

第二次交換后，甲有125元，乙有75元；

第三次交換后，甲有62.5元，乙有137.5元；

第四次交換后，甲有131.25元，乙有68.75元；

第五次交換后，甲有65.625元，乙有134.375元；

第六次交換后，甲有132.812 5元，乙有67.187 5元；

……

觀察這些數據，他們兩人的錢數比例似乎接近于0.5，即1 ∶ 2.前六次交換后的比例分別是0.333 3、0.600 0、0.454 5、0.523 8、0.488 4、0.505 9.而甲乙兩人的錢數總和始終為200.由此試著假設最終兩人的錢數分別接近總錢數的 和 ，兩人手中的錢數的比例近似為1 ∶ 2.此時，當錢多的一方將手中的錢的 給另一方后，另一方手中的錢所占總錢數的比例總是約為 ?搖+?搖 ?搖=?搖 ，此時交換趨于穩定.

接下來考慮 的情形.甲乙雙方開始交換前，甲手里有100元錢，乙手里有100元錢.

第一次交換（甲將手中 的錢交給乙）后，甲有66.666 7元，乙有133.333 3元；

第二次交換后，甲有111.111 1元，乙有88.888 9元；

第三次交換后，甲有74.074 1元，乙有125.925 9元；

第四次交換后，甲有116.049 4元，乙有83.950 6元；

第五次交換后，甲有77.366 3元，乙有122.633 7元；

第六次交換后，甲有118.244 2元，乙有81.755 8元；

……

觀察這些數據，雙方錢數的比例似乎總接近于0.666 7，即2 ∶ 3，前六次轉移后分別是0.500 0、0.800 0、0.588 2、0.723 4、0.630 9、0.691 4.由此試著假設最終兩人手中的錢分別為總錢數的 和 ，滿足2 ∶ 3的條件.此時，當錢多的一方將手中的錢的 給另一方后，另一方手中的錢所占總錢數的比例總是約為 ?搖+?搖 ?搖=?搖 ，此時這種交換趨于穩定.

由此可推出 時的結果.設甲開始的錢數為A、乙開始的錢數為B，那么甲乙總共的錢數為（A?搖+?搖B）.根據前面的推導過程分析，可知當每次轉移的錢數為總錢數的 時，雙方手中的錢數分別為 、 ，此時甲乙雙方的錢數趨于穩定，雙方的比例為（n?搖-?搖1） ∶ n.

這個題目的探索過程說明，在計算過程中要注意觀察和分析，及時從公式的角度進行推算.Y

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”