焦循與《加減乘除釋》

劉　軍

劉軍，中學一級教師，現任職于江蘇大豐市第四中學 ，江蘇大豐市初中數學學科教學能手，曾被大豐市人民政府評為“優秀教育工作者”，主編《中學教材學習講義》一書.

焦循（1763~1820），江蘇甘泉（今揚州市）人，我國清代著名的數學家．他對我國古代數學進行了比較深入的研究和總結，在我國數學史上第一次系統地提出了數量運算的基本規則，推動了清代數學的發展，為我國古代數學增添了新的光彩．

焦循在數學上最大的貢獻是對我國古代數學在運算規則方面進行了全面總結，提出了數量運算的基本規則．這一成果體現在他的數學著作《加減乘除釋》當中．

此書初寫于乾隆五十九年（1794年）秋．嘉慶二年（1797年），焦循對古代數學名著《九章算術》、《孫子算經》、《張邱建算經》等進行了進一步研究，獲得了許多新的想法．在此基礎上，他將過去寫成的草稿進行了詳細的修改完善，最終撰成了《加減乘除釋》這一數學專著．

《加減乘除釋》是一部論述數量加減乘除運算規則的著作，也是我國古代對數學進行理論性研究的最早著作．全書共有8卷，基本內容為：第一、五兩卷主要講述數的加減運算規則，第二卷主要講述二項式的乘方運算，第三卷主要論述數的乘除運算規則，第四、六卷主要講述分數的性質和運算規則，第七卷主要講述各種比例問題，第八卷主要講述加減乘除四則運算規則．全書共列出有關運算規則93條，其中每一條都相當于現代數學書中的一條定理或公式．

焦循在《加減乘除釋》中提出了有關數量運算的基本規則，這是他的一項卓越創造．從現代數學理論來說，在關于數量運算的眾多規則中，最基本、最主要的有5條：加法交換律，加法結合律，乘法交換律，乘法結合律，乘法對加法的分配律．這些定律在現代數學中有特別重要的地位，是現代數學研究的基礎內容和出發點．而這5條基本運算規則，焦循在《加減乘除釋》中均作了比較準確的闡述．

在《加減乘除釋》中，焦循還對加減乘除運算之間的關系進行了探討，提出了不少明確而又恰當的觀點和看法．如他在第二卷中提出：除法不脫離乘法，而乘法實際上是在加法之內，因此，如果明白了加減的道理，乘除的道理自然就明白了．這一段話深刻地說明了加減是乘除的運算基礎．在第三卷中他對加減乘除的運算作了進一步詳細闡述，他指出：乘法用來代替比較繁雜的加法，除法用來代替比較繁雜的減法，因此可以說乘除就是加減的簡化算法，但乘除不能完全取代加減的功用．由這些論述我們可以看出，焦循對于加減乘除的運算規則和相互關系有著多么深刻的理解和認識．

在《加減乘除釋》中，焦循是用甲、乙、丙、丁等天干文字來表示數，與直接用具體的數字運算來表示某些運算規則相比要抽象化、一般化，反映了焦循對一般原理的追求．這在中國數學史上也是一項創造．在焦循之前，中國古代數學家都是以具體數字來說明某種運算規則，而焦循則是第一個使用某些抽象符號來表示一些數學運算規則，這與今天我們使用a、b、c、d等字母來表示一些數學運算規則是相同的．焦循的這些思想從某種意義上代表了我國古代數學的新發展，為我國傳統數學注入了新的血液．Y