探究二元一次方程組有解的條件

洪少尊

在學習解二元一次方程組時，我做過一道怪題：

解方程組2x + y = 5，①4x + 2y = 10. ②

我采用代入法，由①得y = 5 - 2x.把y = 5 - 2x代入②，得4x + 2（5 - 2x） = 10.整理得10 = 10.

奇怪！x竟然不見了！我滿腹疑問，不知道是什么原因.

經過仔細觀察我發現，在方程①和方程②中，x、y的系數及方程右邊的常數項分別對應成比例，即= =，方程①兩邊只要乘以2就可以得到方程②，方程①和方程②是同解方程！

雖然是兩個方程，但實際上是同一個方程，故原方程組有無數多組解.

原來二元一次方程組也可以有無數多組解！那么是否會有無解的情形呢？懷著探究與好奇之心，我把原題目改為：

解方程組2x + y = 5，①4x + 2y = 8. ②

我再次運用代入法解題，由①得y = 5 - 2x.把y = 5 - 2x代入②，得4x + 2（5 - 2x） = 8.整理得10 = 8.

這次更嚴重了！不僅x不見了，而且還出現10 = 8這樣錯誤的式子.我把方程②兩邊同除以2，得2x + y = 4，比較這個方程和方程①，卻找不到x、y使得它們同時成立.這個方程組無解.

接著，我把原方程組中的兩個方程的系數進行了多次改變，探究發現：只要二元一次方程組中的兩個方程中x、y的系數不能對應成比例，就一定能求出唯一的一組解.

我把以上思考的結果概括為一般形式，如下.

若a1、a2、b1、b2、c1、c2都是常數，且a2，b2，c2均不等于0，關于x、y的二元一次方程組a1x + b1y = c1，a2x + b2y = c2 的解的情況如下：

（1）當= =時，方程組有無數組解；

（2） 當=≠ 時，方程組無解；

（3） 當 ≠ 時，方程組有唯一一組解.

指導老師：蔡世英 Y

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