一道平行線中角度問題的教學實錄

莫益群

(浙江省寧波市余姚市三七市鎮初級中學,浙江 寧波 315412)

對平行線問題的處理和簡單角度問題的計算,是初中生必備的能力.學生在解決這類試題的過程中,可以提高計算能力,培養直觀想象素養.

1 試題呈現

筆者在課堂上呈現如下試題:

如圖1所示,已知l∥m,∠1=135°,∠2=95°,求∠3.

圖1 試題圖

2 百花齊放,解法薈萃

經過2分鐘的思考后,生1給出了如下解答.

生1:解法1 如圖2所示,作直線n∥l.

教師點評生1的解法思路清晰、過程簡潔,很精彩,充分利用了平行線的性質,兩條平行線被第三條直線所截,這是平面幾何中一個重要的解題模型[1].

圖2 解法1圖

生2觀察生1的解答過程,受到啟示,給出了如下的解法.

生2:解法2 延長AB,JC交于點H,如圖3所示.

∵m∥l,∴∠1+∠BHC=180°.

∵∠2=∠BHC+∠BCH=∠BHC+180°-∠3,

∴∠1+∠2+∠3=∠BHC+180°-∠3+∠1+∠3=∠BHC+∠1+180°=180°+180°=360°,

∴∠3=360°-135°-95°=130°.

教師點評與解法1相比,解法2也是通過構造平行線被第三條直線所截來做的,構造輔助線后圖形不如解法1的對稱,相應的解題過程也就更繁瑣了.不過能有如此的探究精神,是值得表揚的.

如果應用對稱的思想,則圖1中AB、BC是平等的,延長AB,JC可以解決,那么延長CB、KA交于一點也必定可以解決,而且過程完全相似.同學們下課后自己去試試.

圖3 解法2圖

生3這時也舉手了,說想到了一種簡便方法.

生3:解法3 連接AC,如圖4所示.

∵l∥m,∴∠KAC+∠JCA=180°.

又∵∠2+∠BAC+∠ACB=180°,

∴∠1+∠2+∠3

=∠2+∠BAC+∠ACB+∠KAC+∠JCA=180°+180°=360°,

∴∠3=360°-135°-95°=130°.

教師點評解法3也是通過構造平行線被第三條直線所截來做的.與解法2相比,由于輔助線并沒有改變原圖的對稱性,解答過程相應的也簡單.生3構造了一個△ABC,用到了三角形的內角和.那么能夠通過構造一個四邊形來解決么?

圖4 解法3圖

同學們思考了2分鐘后,生4舉手了,說已經想到了如何利用四邊形的內角和來解決了.

生4:解法4 過A點作直線AH交CJ于點H,如圖5所示.

∵m∥l,∴∠KAH=∠AHC,

∴∠1+∠2+∠3=∠BAH+∠KAH+∠2+∠3=∠BAH+∠AHC+∠2+∠3=360°(四邊形內角和為360°).

教師點評解法4也通過構造平行線被第三條直線所截來做,只是構造了四邊形,不僅用了平行線的性質,而且用到了四邊形的內角和.相對與解法2來說,作輔助線后更為對稱,相應的解法也更簡單.與解法3比較,因為AH可以有無數條,所以不如解法3的圖形對稱.從對稱的角度來看,點A與點C是平等的,既然過A點作直線AH可以解這道題,那么,過點C作直線與l相交也必然可以解決這道題,而且過程完全相似,同學們下課后自行解決.

圖5 解法4圖

這時生5舉手了,說自己同樣是構造四邊形,但這時圖象更對稱,解答過程更簡單.

生5:解法5 作AH∥BC交JC于點H,如圖6.

∵BC∥AH,

∴∠2+∠BAH=180°,∠3+∠CHA=180°.

∵l∥m,∴∠KAH=∠CHA,

∴∠1+∠2+∠3=∠KAH+∠BAH+∠2+∠3=∠AHC+∠BAH+∠2+∠3

①

=∠AHC+∠3+∠2+∠BAH

=180°+180°=360°.

∴∠3=360°-135°-95°=130°.

圖6 解法5圖

教師點評解法5可以像解法4一樣,在①式就用四邊形內角和得出結論,那過程就如解法3一樣.之所以寫出上面的解法,是想讓同學們知道,解法5的輔助線比解法4更對稱美觀,所以解答過程可以少用一個知識點(即四邊形的內角和).

同樣,由于點A與點C是平等的,于是過點C作AB的平行直線與l相交也必然可以解決這道題,而且過程完全相似,下課后同學們自行解決.

這時生6舉手說,他想出了一種更為對稱的做輔助線的方法.

生6:解法6 作A,B,C關于直線p對稱的點A′,B′,C′,連接A′B′,B′C′,如圖7所示.

圖7 解法6圖

∵六邊形內角和為(6-2)×180°=720°

∴∠3=360°-135°-95°=130°.

教師點評與前五種解法相比較,解法6的輔助線最對稱、最美麗,解答過程相應的也最簡潔.

此時教室里響起了一陣熱烈的掌聲……

3 試題推廣

我們下面來看看更為復雜的題:

推廣1 如圖8所示,已知AB∥CD,求∠A+∠E+∠F+∠G+∠H+∠C.

圖8 推廣1圖

師:用上題中六種方法一一去解它,你會發現,作輔助線后,越具有對稱性,解決起來就越簡單.下面請同學們用最對稱的解法6去解決這個問題.

同學們這時在思考、動筆作輔助線,在計算2分鐘后,生7展示了自己的解法.

圖9 推廣1的解答

師:現在,我們將問題推廣到更一般的的情形.

推廣2 如圖10所示,已知A1X∥AnY,求∠A1+∠A2+……+∠An.

圖10 推廣2圖

同學們在計算,在思考,在作輔助線,經過5分鐘后,生8舉手了,說自己已經做好了.

圖11 推廣2的解答

教師點評同學們,今天我們一起學習了平行線中角度問題的計算.我們從最簡單的問題開始,各位同學給出了不同的解法,你們都很優秀,很棒,值得表揚,繼續努力.經過這堂課的學習,我們不僅會作了各種輔助線,也明白了一個道理:圖形越對稱,解答越簡潔.

數學是美好的,尤其是幾何世界里的各種對稱問題,希望同學們能領悟對稱思想,輕松破解平面幾何問題.(叮叮叮……,此時下課鈴聲響起了)

4 教學反思

通過一節課,解決一道題,引導學生積極思考,最后學生都參與解題,感受到了幾何的魅力.問題的設計由淺入深,層層深入,在鍛煉學生幾何直觀的同時,提升了學生直觀想象的素養,滲透了對稱思想.