欲窮千里目　更上一層樓

蔡飛慶

作為高中數學教師，用高等數學的思想、觀點和方法來指導中學數學教學實踐，溝通高等數學與初等數學的內在聯系，指導學生進行研究性學習，培養學生的探究精神與創新能力，將是新形勢下中學數學教學追求的一個新的目標.本文通過對幾個案例的分析，談談如何用高等數學指導高中數學教學的教學實踐.

一、探源追本，拓廣視角

在高等數學與初等數學的銜接處，用高等數學知識背景編寫的一些不脫離中學實際的高考題已屢見不鮮，故應站在高等數學的高度探析其命題背景和創意，拓廣解題視角.

案例1 (2001年高考全國卷20題)已知i,m,n是正整數，且1

(1)證明n琲P琲璵

(2)證明(1+m)琻>(1+n)琺.

背景解析：這是一道融排列、組合、二項式定理、不等式知識于一體的絕妙好題，本源是對數發明過程中研究數列{(1+1n)琻}的性質時所產生的問題.高等數學中有如下結論：數列{(1+1n)琻}單調遞增，且(1+1n)琻<3(其中n∈N*)；數列{(1+1n)﹏+1獇單調遞減，且(1+1n)﹏+1>2;

編題思維探析：由{(1+1n)琻}單調遞增可以推得{(1+n)1n}單調遞減，即對正整數m,n(m(1+n)1n，這就是題1第(2)小題 的背景本質；而(1+1n)琻<3的證明過程中體現的逐項對應比較的方法 則可看成是該高考題第(1)小題的由來.

啟示：高等數學中有些經典問題的處理方法既是數學的精髓所在，也是學生的數學素養和數學潛能的培養關鍵所在.作為一名高中數學教師必須具備相當的高等數學功底，才能詳解高考試題的來龍去脈，對高考趨勢進行展望；才能站在比較高的位置，對學生進行有的放矢的高效教學.

二、激趣陶情，解疑釋惑

1.許多高等數學素材往往能引發學生的認知沖突，具有激起激疑的良好功效.因而以高等數學素材熏陶學生，必將有利于教材的合理組織和教學的有效開展.

案例2 (蒲豐投針實驗)用尺畫一組相距為1的平行線，一根長為12的針扔到畫了線的平面上，若跟平行線相交，則稱“扔出有利”.這樣扔若干次，你會驚奇的發現，“扔出有利”的概率為1π，而且扔的總次數越多，由此得到的π的值越精確.

解析：在概率教學中介紹利用概率知識計算圓周率的方法，既可以使學生經歷數學文化的熏陶，感受古代數學家的智慧；也會使學生體驗到數學的神奇，激發學習興趣.

2.中學數學中很多問題或錯誤，站在初等數學的角度上是很難解決或發現的；倘若能站在高等數學的角度，溝通初、高聯系，居高臨下釋疑，將會更有利于學生深刻領悟數學概念的精髓及其后續發展.

案例3 初學函數時，關于函數圖像與周期，學生中往往有這樣兩個典型錯誤觀點：

①任何函數都有圖像；②任何周期函數必有最小正周期.

這時只需介紹高等數學中重要函數——獶irichlet函數，即可輕松解決學生的疑惑.獶irichlet函數是如下定義的函數：

D(x)=1,x為有理數

0,x為無理數

由于實數是稠密的，因此該函數的圖像實際上是畫不出來的；任意非零有理數都是該函數的周期，而不存在最小正有理數，故獶irichlet函數也無最小正周期.筆者在實際教學中引入了這個容易讓學生理解接受的獶irichlet函數，使學生更為深刻的理解到函數相關概念的內涵，獲得了良好的教學效果.利用高等數學素材進行難點釋疑，原則是不能脫離中學數學的課程標準和教材；在重要概念和知識聯系上做必要的拓寬，是教學中介紹高等數學知識應把握的“度”的要求.

三、縱橫聯系，融會貫通

以高等數學的思想方法來指導初等數學教學，可以統一中學數學的松散體系，對中學數學問題系統地加以思想上的總結和方法論方面的提煉；同時，以高等數學的思想方法來指導總結，可以幫助學生改變綜合復習中的“題海戰術”，引導學生構建知識網絡，從而將頭腦中分散的知識點連成有機的知識整體.

案例4 不等式證明是高中階段的常見數學問題，隨著向量、概率等內容進入新教材，利用向量和概率知識證明不等式的相關研究便層出不窮；站在高等數學的角度上反思這些方法，發現它們原來具有某種內在統一性.

(一)向量方法

(1)方法依據：向量內積不等式|a?b遼≤﹟a遼?|b遼及可由此推導的三角不等式|a+b遼≤|a遼+|b遼.

實際形式：若令a=(a1,a2…，a璶),b=(b1,b2…，b璶),即可將內積不等式轉化為代數形式(a1b1+a2b2+…+a璶b璶)2≤(a21+a22+…+a2璶)?(b21+b22+…+b2璶),這也是運用向量證明不等式的主要形式.

(2)理論依據：上升到高等數學中內積空間的層面上，|a?b遼≤|a遼?|b遼也可稱為“柯西不等式”，證明方法是構造二次函數；在高中數學內容中直接定義了向量內積a?b=|a遼?|b遼?玞osθ，從而利用|玞osθ|≤1立即證得|a?b遼≤﹟a遼?|b遼成立.

(二)概率方法

(1)方法依據：利用概率知識證明不等式主要依據以下兩個結論：

①n個數據x1,x2,…，x璶的方差S2=1n∑ni=1(x璱-)2=1n∑ni=1x2璱-1n(∑ni=1x璱)2≥0；

②離散型隨機變量ξ的分布列為P(ξ=k)=p璳,k=1,2,…，n，則Eξ2≥E2ξ.

(2)實際形式：研究相關文章不難發現，運用以上兩個結論的實際形式分別為：

③已知x1,x2,…，x璶∈R，則n?(x21+x2瓁+…+x2璶)≥(x1+x2+…+x璶)2；

④已知0

而③④不難由(a1b1+a2b2+…+a璶b璶)2≤(a21+a22+…+a2璶)?(b21+b22+…+b2璶)證明，因此可以說是柯西不等式的兩個推論.

(3)理論根源:在概率論中，①②實際上是下面定理的特例；⑤柯西—施瓦茨不等式；對任意隨機變量ξ，η，有|Eξη|2≤Eξ2Eη2，等式成立當且僅當存在常數t0使P(η=t0ξ)=1.

通過以上總結分析可知，從實際形式、理論根源等方面來說，證明不等式的向量方法和概率方法，與常見的柯西不等式具有內在統一性.在實際教學中，以柯西不等式的反思總結為橋梁，可以溝通新增內容與不等式知識間的聯系，實現新、舊知識和思想方法的融合，從而有效促進新增內容的教學和知識網絡的構建.

四、梳理歸類，挖潛添能

分段函數的構造、遞推關系、極限方法的應用、導數的應用、不動點問題、折紙術、函數圖像的凸性的一些特性等具有高等數學傾向的問題在高中數學新教材的選修系列中已有所體現，在歷年高考中也屢屢出現，對相關的高考題進行梳理歸類，用以指導高中數學教學實踐，提升學生的學習潛能，增添其解答創新題的能力和理論素養就顯得非常迫切.

現僅以高等數學中凸函數為背景的高考題為例，淺談如何在高中數學中滲透高數知識，挖掘學生的學習潛能和提升學生的創新能力.

案例5 題1：(1994年全國高考題)已知函數f(x)=玹an玿,x∈(0,π2)，且x1≠x2，證明f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22).

題2：(2005年湖北高考題)在y=2瑇,y=玪og2x,y=x2,y=玞os2x這四個函數中，當0f(x1+x22)恒成立的函數個數是().

A.0 B.1 C.2 D.3

追源：高等數學中凸函數的概念：設f為定義在區間I上的函數，若對I上的任意兩點x1,x2和任意實數λ∈(0,1)，總有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，則稱f為I上的凸函數；反之，若f(λx 1+(1-λ)x2)≥│薴(x1)+(1-λ)f(x2)，則稱f為I上的凹函數.當λ∈(0,1)時，λx1+(1-λ)x2表示的點在x1,x2之間.高中課本中出現的問題只不過是λ=12的情形.

實踐：在函數的教學中，講到指數函數、對數函數、冪函數、三角函數時可結合函數的圖像滲透凹凸函數的圖像特征，讓學生通過函數圖像認識接受高等數學中凸函數定義的外在表象.

如圖：記A(x1,f(x1)),B(x1+x22,ゝ(x1+x22)),狢(x1+x22,f(x1)+f(x2)2),〥(x2,f(x2)).在圖1中，f(x1+x22)f(x1)+f(x2)2.教學實踐中，先讓學生理解上

述兩個圖像的意義，再簡單介紹圖像下凹的簡稱為凹函數，圖像上凸的簡稱為凸函數.讓學生從凹凸函數的圖像特征著手，深刻記憶凹凸函數f(x1+x22)鹒(x1)+f(x2)2的外在表象.至于凹凸函數的具體定義則不需要引入，也沒必要講解.這樣既能滲透高數知識，提升學生的學習潛能；又能讓學生碰到相似情境的問題時不至于無從下手.

綜上所述，作為高中數學教師，用高等數學的思想、觀點和方法來指導中學數學教學實踐，溝通高等數學與初等數學的內在聯系，指導學生進行研究性學習，培養學生的探究精神與創新能力，應該是新形勢下激活中學數學教學的一條有效途徑.

參考文獻

［1］董裕華.高等數學背景下的高考數學命題探析.中學數學雜志，2007，(4).

［2］任念兵.高等數學背景下的高考不等式問題.數學教學研究，2006，(3).

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”