一個不等式的再討論

丁勝利

文［1］建立了如下的不等式

定理(［1］) 若a,b是正數，則

ab+12﹟a-b|≥a+b2≥a2+b22-2-12?|a-b| (1)，并提出了如下的

猜測 若a,b是正數，則

ab≥a2+b22-2-12|a-b| (2)

本文指出猜測(2)是不成立的，并用直觀的方法推廣不等式(1)的右端，即建立如下的

定理 若a,b是正數，則

2-2?a2+b2≥a+b2+2-12|a-b|≥a2+b22 (3)

證明：不等式(3)等價于確定

類似的，不等式(2)等價于

aba2+b2+2-12|a-ba2+b2|-12≥0.(6)

利用(5)中的變換，(6)式左端轉化為

玞osθ玸inθ+2-12|玞osθ-玸inθ|-12

=玸in2θ2+2-121-玸inθ-12

=12t+2-121-t-12△g(t),0

例如：取a=104,b=1,這時，ab-a2+b22+2-12|a-b|=104-108+12+2-12|104-1|<100-7071+2500<0.

參考文獻

［1］宋慶.兩個優雅的雙邊不等式.中學數學研究，2008(1).

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”