數學思想方法在新教材概率學習中的應用

林少安

問題是數學的心臟，方法是數學的行為，思想是數學的靈魂.不管是數學概念的建立，數學規律的發現，還是數學問題的解決，乃至整個“數學大廈”的構建，核心問題在于數學思想方法的培養和建立.數學思想方法是數學的精髓，是新知識拓廣的指導思想，是數學概念、定理、公式的認識基礎，是解題策略的源泉.因此，在數學教學中，應把數學思想方法的訓練貫穿于教學始終.本文著重探討概率解題過程中數學思想方法的應用.

一、函數與方程思想

函數思想，是用運動和變化的觀點分析和研究數學問題中的數量關系，建立函數關系或構造函數，利用函數的圖像和性質分析問題和解決問題，使問題獲得解決.

方程思想是通過引入未知量，構造方程或方程組，分析問題、轉化問題，使問題得到解決.

“已知”與“未知”是一個問題中緊緊相連的兩個方面，它們之間的關系就是方程(或不等式)關系.因此，在數學中并不是一味地要由“條件”推“結論”，而應從整體上把握“已知”與“未知”間的關系，然后再從數與式兩個方面進行突破，這樣，方程思想就顯得非常重要，而且也富有技巧.

在本章學習中，當求解某些事件的概率時，從問題的數量關系入手，根據概率的定義、公式構造方程，然后通過解方程(組)的方法使問題得以解決.

例1 甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個紅球，2個白球；乙袋裝有2個紅球，n個白球.從甲，乙兩袋中各任取2個球.若取到的4個球中至少有2個紅球的概率為34，求乙袋中白球的個數n.

解：記“取到的4個球至多有1個紅球”為事件B，“取到的4個球只有1個紅球”為事件B1，“取到的4個球全是白球”為事件B2.由題意，得P(B)=1-34=14；P(B1)=C12?C12C24?C2璶C2﹏+2+C22C24?C12?C1璶C2﹏+2=2n23(n+2)(n+1);P(B2)=C22C24?C2璶C2﹏+2=n(n-1)6(n+2)(n+1).所以P(B)=P(B1)+P(B2)=2n23(n+2)(n+1)+n(n-1)6(n+2)(n+1)=14,化簡，得7n2-11n-6=0，解得n=2，或n=-37(舍去)，故n=2.

二、分類與整合思想

在解某些數學問題時，我們常常會遇到這樣一種情況，解到某一步之后，發現問題的發展是按照不同的方向進行的，被研究的問題包含了多種情況，就必須抓住主導問題發展方向的主要因素，在其變化范圍內，根據問題的不同發展方向，劃分為若干部分分別研究.這里集中體現的是由大化小、由整體化為部分、由一般化為特殊的解決問題的方法，其研究方向基本是“分”，但分類解決問題之后，還必須把它們整合在一起，這種“合—分—合”的解決問題的過程，就是分類與整合的思想方法.

分類與整合思想，是數學中重要的數學思想之一.分類與整合思想的實質是將整體問題化為部分，然后再各個擊破之.分類討論的關鍵是邏輯劃分標準恰當準確，分類討論時要做到不重不漏.

在本章學習中，求概率時，要考慮各類情況對應的結果數，這就要進行分類討論.

例2 若連續擲兩次骰子，第一次擲得的點數為m，第二次擲得的點數為n，求點P(m,n)落在圓x2+y2=16內的概率.

解：先后擲兩次骰子，第一次骰子出現6種結果，對于每一種結果，第二次又有6種可能結果，于是一共有6×6=36種不同的結果.

因為點P(m,n)落在圓x2+y2=16內，所以m2+n2<16，考慮到m,n∈{1，2，3，4，5，6}， 進行分類討論.

當m=1時，n=1,2,3共3種可能；當m=2時，n=1,2,3共3種可能；當m=3時，n=1,2共2種可能；當m≥4時，不符合m2+n2<16.

故點P(m,n)落在圓內有8種情況(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2).故所求概率P=836=29.

三、轉化與化歸思想

轉化與化歸思想是數學問題處理中重要的思想方法之一.其目的與意義在于化繁為簡、化難為易，其作用是將問題簡單化，幫助我們抓住問題的實質，找到解決問題的突破口，從而簡便地解決問題.

在解答某類問題時，由于該類問題所包含的情況相對來說較為繁雜，在解答時常常把相應問題等價轉化，轉化成與其等價的命題.

在本章的學習中，往往會遇到一些求“至多”“至少”等事件的概率，此時需要利用P(A)+P()=1,先求其對立事件的概率，然后利用P(A)=1-P()相應求解；條 件概率的計算，常利用縮小樣本空間的觀點來等價轉化，從而P(B|A)=n(AB)n(A)，這里n(A)和n(AB)的計數是基于縮小的樣本空間；在求概率時有時要化成互斥事件的和事件，有時要化成對立事件，由實際問題轉化為概率模型等；在幾何概型中，將一維長度問題轉化為平面圖形的二維面積問題.

例3 兩個對講機持有者莉莉和霍伊都為卡爾貨運公司工作，他們的對講機接收范圍為25公里，在下午3∶00時莉莉正在基地正東距離基地30公里以內的某處向基地行駛.而霍伊在下午3∶00時正在基地正北距基地40公里以內的某地向基地行駛，試問他們能夠通過對講機交談的概率有多大?

解：設x和y分別代表莉莉和霍伊距基地的距離，于是0≤x≤30,0≤y≤40，則他倆所有可能的距離的數據構成有序數對(x,y)，這里x和y都在它們各自的限制范圍內，且所有這樣的有序數對構成的集合即為試驗的全部結果，每一個點都代表莉莉和霍伊的一個特定的位置，他們可以通過對講機交談的事件僅當他們之間的距離不超過25公里時發生，因此構成該事件的點由滿足不等式x2+y2≤25的數對組成，此不等式等價于x2+y2≤625.

如圖1，長和寬分別為40和30的矩形區域表示試驗的所有結果構成的區域，以25為半徑的14圓的區域表示試驗成功的區域，而矩形面積為30×40=1200(平方公里)，而事件的面積為14π×252=625π4(平方公里)，故所求事件的概率為P=625π4×1200=25π192.

四、數形結合思想

數形結合思想是重要的數學思想方法之一，數形結合的解題方法的特點是：具有直觀性、靈活性、深刻性，并跨越各科的界線，有較強的綜合性.“以數輔形”和“以形助數”，從而達到數與形的和諧統一，“形”為問題的骨架形態，給了我們以直觀的猜測，而“數”則展示了問題的內部規律，給了我們以量的客觀的結論，只有數形結合，才能使我們直觀、迅速、準確地解決數學問題.

在本章學習中，可以利用集合的Venn圖理解事件間的關系，利用表格、樹狀圖等計算古典概型的基本事件數；利用數軸、坐標系解決幾何概型中事件區域的長度、面積、體積；在解實際應用題中借助圖像或表格建立相應的函數模型等問題.

例4 在長度為10的線段內任取兩點將線段分成三段，求這三段可以構成三角形的概率.

解：設構成三角形的事件為A，長度為10的線段被分成三段的長度分別為x、y、10-(x+y),則0

0

0<10-(x+y)<10,即

0

0

010-(x+y)，即5

0

5

五、或然與必然的思想

人們發現事物或現象可以是確定的，也可以是模糊的，或隨機的.為了了解隨機現象的規律性，便產生了概率論這個數學分支.概率是研究隨機現象的學科，隨機現象有兩個最基本的特征，一是結果的隨機性，即重復同樣的試驗，所得到的結果未必相同，以至于在試驗之前不能預料試驗的結果；二是頻率的穩定性，即在大量重復試驗中，每個試驗結果發生的頻率“穩定”在一個常數附近.了解一個隨機現象就是知道這個隨機現象中所有可能出現的結果，知道每個結果出現的概率.知道這兩點就說明對這個隨機現象研究清楚了.概率研究的是隨機現象，研究的過程是在“偶然”中尋找“必然”，然后再用“必然”的規律去解決“偶然”的問題，這其中所體現的數學思想就是或然與必然的思想.

例5 為了估計水庫中魚的尾數，可以使用以下的方法：先從水庫中捕出一定數量的魚，

例如2000尾，給每尾魚作上記號，不影響其存活，然后放回水庫，經過適當時間，讓其和水庫中其余的魚充分混合，再從水庫中捕出一定數量的魚，例如500尾，查看其中有記號的魚，設有40尾，試根據上述數據，估計水庫內魚的尾數.

解：設水庫中魚的尾數為n,n是未知的，現在要估計n的值.假定每尾魚被捕的可能性是相等的，從庫中任捕一尾，設事件A={帶有記號的魚}，易知P(A)≈2000n①

第二次從水庫中捕出500尾，觀察其中帶有記號的魚有40尾，即事件A發生的頻數m=40，由概率的統計定義可知P(A)≈40500 ②.

由①②兩式，得2000n=40500，解得n=25000，所以，估計水庫中約有魚25000尾.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”