幾種常見的幾何概型及簡單應用

劉瑞美　方立新

幾何概率模型是高中新課標教材中新增加的內容，這部分內容可以看成是古典概型的推廣.為了幫助各位同仁對這部分內容有一個較系統的認識，下面分別就測度為長度、角度、面積、體積等不同的幾何量的相關關系進行探究.

一、幾何概型的概念

若樣本空間是一個包含無限個點的區域Ω(一維，二維，三維或n維)，樣本點是區域中的一個點.向區域Ω內任投一點，它落在區域內任意一個點處都是“等可能的”，即當它們的測度(長度，角度，面積，體積，…)相等時，樣本點落在這兩區域上的概率相等，而與形狀和位置都無關.象這樣，如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的測度(長度、角度、面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型.

二、幾何概型和古典概型的區別

古典概型的計算，只適用于具有等可能性的有限樣本空間，而幾何概型適用于試驗結果具有等可能性的無限的樣本空間.幾何概型可以看成是古典概型的推廣.

三、幾何概型的概率公式

若記事件A={任取一個樣本點，它落在區域g雞竲，則A的概率定義為P(A)=g的測度Ω的測度，這里g的測度是指構成事件A的區域長度(角度、面積或體積)、Ω的測度是指試驗的全部結果所構成的區域長度(角度、面積或體積).

四、幾種常見的幾何概型

1.長度模型

設線段l是線段L的一部分，向線段L上任投一點.若落在線段l上的點數與線段l的長度成正比，而與線段l在線段L上的相對位置無關，則點落在線段l上的概率為

P(A)=g的測度Ω的測度=l的長度L的長度.

2.角度模型

設角α是角β的一部分，向角β內任投一點，若落在角α內的點數與角α的度數成正比，而與角α在角β內的相對位置無關，則點落在角α內的概率為：P(A)=g的測度Ω的測度=α的度數β的度數.

3.面積模型

設平面區域g是平面區域G的一部分，向區域G上任投一點，若落在區域g上的點數與區域g的面積成正比，而與區域g在區域G上的相對位置無關，則點落在區域g上的概率為㏄(A)=g的測度Ω的測度=g的面積G的面積.

4.體積模型

設空間區域上v是空間區域V的一部分，向區域V上任投一點.若落在區域v上的點數與區域v的體積成正比，而與區域v在區域V上的相對位置無關，則點落在區域v上的概率為㏄(A)=g的測度Ω的測度=v的體積V的體積.

五、幾何概率公式的應用

1.長度模型

例1 如圖1，∠AOB=60°,OA=2,OB=5，在線段OB上任取一點C，試求：△AOC為鈍角三角形的概率.

解析：先看△AOC為直角三角形的情況：(1)若∠OCA=90°，則OC=1；(2)若∠OAC=90°，則OC=4，如圖C1和C2是分別適合上面的兩種情況的點C，它們都在線段OB上，由題意可知：當點C在線段OC1或C2B內時，△AOC為鈍角三角形.故D的測度=OB=5,d的測度=OC1+C2B=1+1=2，從而，△AOC為鈍角三角形的概率P=25.

例2 (磁帶問題)喬和摩進行了一次關于他們前一天夜里進行的活動的談話.然而談話卻被監聽錄音機記錄了下來，聯邦調查局拿到磁帶并發現其中有10秒鐘長的一段內容包含有他們倆犯罪的信息，然而后來發現，這段談話的一部分被聯邦調查局的一名工作人員擦掉了，該工作人員聲稱她完全是無意中按錯了鍵，并從即刻起往后的所有內容都被擦掉了，試問如果這10秒鐘長的談話記錄開始于磁帶記錄后的半分鐘處，那么含有犯罪內容的談話被部分或全部偶然擦掉的概率將是多大?(說明：磁帶的單面播放時間約為30分鐘).

解析：將30分鐘的磁帶表示為長度為30的線段R，則代表10秒鐘與犯罪活動有關的談話的區間為r，如圖2所示，10秒鐘的談話被偶然擦掉部分或全部的事件僅在擦掉開始的時間位于該區間內或始于該區間左邊的任何點.因此事件r是始于R線段的左端點且長度為12+16=23的事件.

因此，P(r)=r的長度R的長度=2330=290=0.02.

點評：對測度為線段長度的問題，在畫圖分析時，要完整準確地把握構成所求事件的樣本空間所對應的線段，防止遺漏或以偏概全.

2.角度模型

例3 在△ABC中，∠B=60°,∠C=45°，高AE=3，在∠BAC內作射線AM交BC于M，求BM<1的概率.

解析：如圖3，射線AM在∠BAC內是等可能分布的，當AM與高AE重合時，BM=1，所以滿足BM<1的射線AM在∠BAE內，于是D的測度=∠BAC=180°-(60°+45°)=75°，d的測度=∠BAE=90°-60°=30°,從而P(BM<1)=3075=25.

點評：若將本題的“在∠BAC內作射線AM交BC于M”改為“在線段BC上取點M”，則測度就由“角度”變為線段的“長度”，因而對于背景相類似的問題，一定要仔細推敲，認真辨析，注意區別.

3.面積模型

例4 (會面問題)兩人相約7點到8點在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時離去.求兩人會面的概率.

解：因為兩人誰也沒有講好確切的時間，故樣本點由兩個數(甲乙兩人各自到達的時刻)組成.以7點鐘作為計算時間的起點，設甲乙各在第x分鐘和第y分鐘到達，則樣本空間為Ω:{(x,y)|0≤x≤60,0≤y≤60}，會面的充要條件是|x-y|≤20，即事件A={可以會面}所對應的區域是圖4中的陰影線部分.

P(A)=g的測度Ω的測度=602-(60-20)2602=59.

例5 已知函數f(x)=13x3+12ax2+bx,a,b∈R，f′(x)是函數f(x)的導數.若-1≤a≤1,-1≤b≤1，求函數f′(x)在R上有零點的概率.

分析：函數f′(x)在R上有零點即要求x2+ax+b=0有實數根，只需根據一元二次方程有根的條件得出相應的不等關系，畫出相應的符合條件的可行域，利用定積分求曲線圍成的面積，然后借助幾何概型求概率即可.

解：由題設得f′(x)=x2+ax+b，由函數f′(x)在R上有零點得方程f′(x)=0，即方程

x2+ax+b=0有實數根，只需△≥0，即a2≥4b，∴方程f′(x)=0有實數根的條件為-1≤a≤1,

-1≤b≤1,

a2≥4b，(*)如圖5，條件(*)的面積為S1=А要1-1(a24+1)da=136，Ф滿足條件-1≤a≤1,-1≤b≤1的面積為S=4，根據幾何概型的概率公式可知，方程f′(x)=0有實數根的概率為P=S1S=1324.

評注：本例是一道涉及函數導數、定積分與零點的幾何概型的綜合問題，利用定積分求曲線所圍成平面圖形面積，借助幾何概型的概率公式求解.

4.體積模型

例6 在線段OA=［0，1］上任意投三個點，問由O至三點的三線段，能構成三角形與不能構成三角形這兩個事件中哪一個事件的概率大.

解析：設O到三點的三線段長分別為x,y,z，即相應的右端點坐標為x,y,z，顯然0≤x,y,z≤1.這三條線段構成三角形的充要條件是：x+y>z,x+z>y,y+z>x.在線段［0，1］上任意投三點x,y,z.與單位立方體中的點(x,y,z)一一對應，可見所求“構成三角形”的概率，等價于在邊長為1的立方體T中均勻地擲點，而點落在x+y>z,x+z>y,y+z>x區域中的概率；這也就是落在圖6中由△ADC，△ADB，△BDC，△AOC，△AOB，△BOC所圍成的區域G中的概率.由以上六個面圍成的幾何體的體積等于立方體T的體積減去三個以O為頂點的四面體的體積，而每個四面體的體積均為13×12×13,由于V(T)=1,V(G)=13-3×13×12×13=12,∴P=V(G)V(T)=12.

由此得，能與不能構成三角形兩事件的概率一樣大.

例7 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，在正方體內隨機取點M，求使四棱錐M-ABCD的體積小于16的概率.

解：設M到面ABCD的距離為h，則V㎝-ABCD=13S┱方形ABCD?h=13h=16，所以h=12，故只要點M到面ABCD的距離小于12即可.

所有滿足點M到面ABCD的距離小于12的點組成以ABCD為底面，高為12的長方體，其體積為12，又正方體體積為1，所以㏄(V㎝-ABCD<16)=121=12.

點評：本例的測度為幾何體的體積，解題的關鍵是探求兩幾何體體積的關系.

幾何概型是高中新課標教材新增加的內容，難度相對較大，而教材上的內容都比較簡單，因而在講授新課時不要隨意增加太多的內容.

幾何概型并不限于向平面(或直線、空間)投點的試驗，如果一個隨機試驗有無限多個等可能的基本結果，每個基本結果可以用平面(或直線、空間)中的一點來表示，而所有基本結果對應于一個區域Ω，這時，與試驗有關的問題都可以利用幾何概型來加以解決.

參考文獻

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”