從三則教學案例看數學問題情境的有效設計

劉智強

新課程實施以來，許多教師的教學理念發生了變化，在教學中都很注重問題情境的創設，出 現了一些優秀的問題情境設計方案，也有一些情境設計只是講究外面的包裝，看似很新、 奇、亮，但不知道其真正的目的是什么?是否有效地達成了目標?

情境設計的有效性是指情境設計所指向教學目標的達成度，包括顯性目標和隱性目標的達成 度，以及情境設計所展現的教學過程是否適切、是否經濟，包括45分鐘的課堂效率.

一個有效的情境設計，“應該有鮮明的目標指向，能融數學教與學為一體，具有數學教學活 動的內驅力，并使數學課堂具有自我生長性的立體的環境”［1］.

一個有效的情境設計應該包括它的問題性、指向性、適切性、探究性、現實性、趣味性.一 個情境設計的有效性的標準是看是否設置了一種問題的環境、背景和條件，有助于學生的探 究、發現和體驗，“是否選擇了有效的最近發展區，有助于本節課的核心目標達成，是否重 視 了問題的呈現方式，有助于學生自主發現，是否關注了學生學習的元認知因素，有助于提升 問題的思維價值，是否強調了數學本質的認識，有助于探究有價值的真實問題，是否注重了 策略方法的研究，有助于提供新的學習渠道”［2］.

案例1：折紙游戲與橢圓——情境設計需要講究適度

設計方案1：

1.生活實際例子及圖片顯示：汽車油罐的橫截面的輪廓，行星和衛星運行的軌跡等.

2.動手畫橢圓：教師利用兩個圖釘，一條一定長的細線，一根粉筆，在小黑板上演示畫一個 橢圓的過程.

3.學生觀察畫橢圓過程，思考橢圓的特征.

4.給出橢圓定義，推導橢圓的標準方程.

評注：設計1以教師在黑板上用橢圓的機械畫法，引入橢圓定義以及焦點的概 念.生活實際例 子、圖片、機械畫法，所設置的情境指向明確，橢圓的機械畫法這種情境中蘊涵著橢圓內部 的數學本質聯系，粉筆到兩個圖釘的距離和等于細線的定長，但這種呈現方式過于顯性、直 接、簡單、容易.缺少探究的空間，幾乎是教師直接地、生硬地把概念“拋”給學生.本節課 的教學目標是橢圓定義的發生、橢圓方程的推導和簡單的應用，其中探索橢圓定義是認識橢 圓并掌握橢圓方程的前提，因此，教學的重點是基于過程性的探索橢圓定義、方程和知識技 能性的簡單運用，從這個意義出發，該情境與本節課的核心目標達成有一定的距離和偏差.

設計方案2：

1.折紙活動：(如圖1)在一張圓形紙片內部設置一不同于圓心的一點，折疊紙片，使圓的周 界上有一點落于設置點.如圖折疊數次，形成一系列折痕，它們整體地勾畫出一條曲線的輪 廓.

2.觀察、猜想：眾多折痕圍出一個橢圓.

3.幾何畫板動態演示折紙過程及形成的橢圓.

4.探究本質特征，發現形成定義：橢圓上的點到點C、點O的距離和等于圓半徑，由學生概括 、教師補充，整理成定義.

5.根據橢圓定義，推導橢圓的標準方程.

評注：設計2引入了折紙活動，使原本單調、枯燥的數學變得生動、有趣.定 義的給出，不是 教師直接“拋”出的，而是學生自己發現、概括的.教師的工作是把教學設計成學生動手操 作、多媒體輔助、觀察猜想、揭示規律、引入定義、形成概念等一系列過程.從情境任務與 問題表達、情境對問題解決的暗示程度來看，折紙情境相比設計1中的機械畫法，較隱性、 間接，有一定的探究的空間，是在“最近發展區”的一種恰當的度.

案例2：e值的討論與拋物線——情境設計需要講究適時

設計方案：

1.折紙游戲：閱讀游戲規則，動手操作折紙(如圖2).

2.觀察、發現1：折線的交點是拋物線.

3.幾何畫板動態演示折紙過程及拋物線(如圖3).

4.探究、發現2：拋物線上的點到定點的距離等于到紙邊的距離.

5.形成定義、推導拋物線標準方程.

6.知識應用和變式練習.

評注：如果孤立地看這個設計，和上述橢圓的設計一樣是個很有效的情境設 計.但從圓錐曲 線整個單元系統來看，采用復習橢圓、雙曲線的統一定義，由對離心率e<1、e>1的分類討 論 ，引出問題e=1，并直接告訴拋物線定義，進而推導拋物線方程.這種方式自然、直接、省時 ，在這節課的三個教學目標，拋物線定義、方程推導、性質應用的實施中可以重心適當后移 ，更經濟、高效地達成教學目標.有效的情境設計應該是“一章節(單元)教學中情境—問題 教學的總體設計”［3］，所以說從整個單元系統來看，這個設計不適時.

同樣另外的幾種情境的設計，都不是很適切.一種是通過多媒體展現生活中拋物線的現象， 如姚明投籃、紹興橋的圖片等，從現象引入課題，直接給出定義，豐富、精美的畫面能很好 地渲染氣氛、調動學生情緒，也能直觀地、簡單地說明拋物線的現實性，但缺少對拋物線定 義本質的揭示過程.另一種是從一個具體的應用問題情境引入課題，直接給出拋物線定義， 如紹興環城河的水位、船載物高度與紹興廊橋的形狀及通航的關系等具體情景，這種現實生 活中具有挑戰性的問題，學生運用已有知識無法解決的問題情境，能使學生在實際情境中產 生“疑”，但情境與定義的發生沒有聯系.

案例3：李白和酒杯中的數學——情境不只是為了渲染

設計方案1：

1.多媒體播放李白的資料：生平、畫像、詩詞，所用時間1分鐘.

2.配音朗誦并分析李白的《將進酒》：詩深沉渾厚，氣象不凡.情極悲憤狂放，語極豪縱 沉著，大起大落，奔放跌宕.詩句長短不一，參差錯綜，節奏快慢多變，一瀉千里等等，所 用時間8分鐘.

3.用“莫使金木尊空對月”引出“酒杯”：“人生得意 須盡歡，莫使金木尊空對月.天生我材必有用，千金散盡 還復來.”其中的“金木尊”為何意?——酒杯，所用時 間1分鐘.

4.介紹酒杯(課件演示)：直角酒杯、橢圓酒杯、拋物線酒杯(按酒杯的軸截面形狀分)，所用 時間1分鐘.

5.酒杯中的數學1：如果已知一拋物線酒杯，我們測量得杯口寬4cm，杯深8cm，能 否求出該拋物線方程?通過練習，復習拋物線的定義、標準方程等問題，為后面的探究在知 識上做好鋪墊，所用時間3分鐘.

6.酒杯中的數學2：定長為2的細棒AB的兩個端點在拋物線酒杯x²=1/2y 上移動，記線段AB的中點為M，求點M到x軸的最短距離，并求此時點M的坐標.

評注：這是一節拋物線知識的應用課，感覺

從聲音、畫面、情境都很有感染力，但前面的14 分鐘，只引出了酒杯，不經濟，浪費時間.從李白、酒杯到酒杯中的數學，這樣的故事情境 具有一定的人文性和生活化，但情境指向的僅僅是酒杯，不是本節課的本質問題，這樣的情 境太重形式，表面的東西，沒有意義.設計中的1至4步與課的目標及內容沒有什么聯系，遠 離數學本質，為情境化而設計情境.

設計方案2：

1.李白豪飲、狂書、甩筆：假如李白一手握杯，一手執筆.先將美酒一飲而盡，將酒杯置于 身后.然后揮筆草書《將進酒》.寫完后，甩筆，恰入酒杯中.假設此杯為大號拋物線酒杯， 因唐朝制杯工藝優秀，古杯壁光滑可忽略摩擦，現視筆為粗細均勻的細棒.問題當筆最后達 到平衡狀態時，筆在酒杯中的位置如何?(課件演示).

2.從物理學科角度看：“物體處于平衡位置與其重心有什么關系”?(細棒的中心即細棒的重 心處于最低位置).

3.請學生編寫數學題：“根據上述現象的結論，舉例編寫出數學問題”.

4.酒杯中的數學：定長為2的線段AB的兩個端點在拋物線x²=1/2y上移 動，記線段AB的中點為M，求點M到x軸的最短距離，并求此時點M的坐標.

評注：“李白豪飲、狂書、甩筆”的故事情境，描述了筆“從滑動到最后平 衡狀態”的物理現象，情境設計中的2、3兩個“問題串”，引導學生從物理的角度揭示問題 本質，進一步數學化為本節課的核心問題.與設計1比較，這樣的情境既有故事的趣味性、又 有 問題的本質的東西，這樣的“問題串”“適度”，能“引導學生從實際情境中發現問題，并 歸結為數學模型，嘗試用數學知識和方法去解決問題.”［4］

有效的數學情境設計“不要脫離課堂教學目標”，“為情境而設置情境”，不要刻意追求“ 為課件而制作課件”.要恰當處理“復雜的情境”，要注重“虛擬情境”中的數學信息探析 ，要處理好核心知識學習與學生興趣的關系”.［5］

參考文獻

［1］黃翔，李開慧.關于數學課程的情境化設計［J］.課程教材教法，2006(9)：39-43.

［2］李曉明.例說“情境”中問題設置的改造［J］.數學教學，2006(7)：0-2.

［3］呂傳漢，汪秉.論中小學“數學情境與提出問題”的教學［J］.數學教育學報，2006(5 )：74-79.

［4］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準［S］.北京：人民教育出版社，2003.1 09.

［5］呂傳漢，汪秉.論中小學“數學情境與提出問題”的教學［J］.數學教育學報，2006(5 )：74-79.