一個數學問題的幾個姊妹問題

羅建宇

《數學通報》2005年第11期問題1579：

已知x,y,z都是正數，x2+y2+z2=1，求證：(1x-x)(1y-y)(1z-z)≥893.

本文試改變問題的條件或結論，研究其姊妹問題.

1.改變問題的條件

姊妹問題1 若x,y,z都是正數，x+y+z=1，則(1x-x)(1y-y)(1z-z)≥(83)3.

文［1］以偏導數為工具證明了該問題，此處不再贅述，文［1］末尾提出了這一結論的一 般性猜想(稱推論1)：

設x璱>0,i=1,2,3，…，n，且∑ni=1x璱=1,n≥3，則∏ni=1(1x璱-x璱)≥(n-1n) 琻.

文［2］給出了推論1的一個較繁雜證明，本文用導數為工具證明之，先給出一個引理(由文［3］定理1，2，3綜合得出)

引理 設a

現給出推論1的證明

證明：在引理中取a=0,b=1,s=1,設ゝ(x)=玪n(1x-x)，則F(x1,x2,…，x璶)=

∑ni=1f(x璱)=玪n［∏ni=1(1x璱-x璱)］,又f″(x)=5-(x2+2)2x2(1-x2)2，當00，即此時f(x)是嚴格下凸函數，而引理中最值是在x璱=1n(i=1,2,3，…)時取得的，且1n<5-2(n≥3)，故由引理有玪n［∏ni=1(1x璱-x璱)］≥n玪n(n-1n)=玪n(n-1n)琻,故猜想得證.

同理可得

推論2 設x璱>0,i=1,2,3,…，n，且∑ni=1x璱=1,n≥3，則∏ni=1(1x璱+x璱)≥(n+1n)琻.

2.改變問題結論

姊妹問題2 若x,y,z都是正數，x2+y2+z2=1，則(x+1x)(y+1y)(z+1z)≥6493.

證明：當n=2時，由柯西不等式(a12+a22)(b12+b22)≥(a1b1+a2b2)2(當a1b1=a2b2時等號成立)，可得

(x+1x)(y+1y)(z+1z)(13+3)≥(xy+1xy)2?(z3+3z)2≥(4xyz3+43xyz)4，由x,y,z都是正數，x2+y2+z23≥(xyz)23有0

∴0<4xyz3≤33，又函數f(x)=x+1x在(0，1)上是減函數且恒為正，∴(4xyz3+43xyz)4≥(33+3)4,∴(x+1x)(y+1y)(z+1z)≥6493.

同理可得如下結論

推論3 若x,y,z都是正數，x琻+y琻+z琻=1,則(x+1x)(y+1y)(z+1z)≥［(13)1n+31n］3.

參考文獻

［1］楊先義.一個不等式的推廣.數學通訊，2002(19).

［2］戴承鴻，劉兵華.一個猜想的證明.數學通訊，2002(23).

［3］葉軍.多元對稱函數的一類條件最值.數學通報，1999，5.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”