摭談隱含在一些公式證明中的重要數學思想

吳新建

平時我們都十分重視對書本上的一些公式及一些變形公式的教學，要求學生能夠理解并熟練地運用這些公式.但我想僅滿足于這樣的要求還遠遠不夠，還未能最大限度地挖掘出這些公式的潛在功能.事實上，在這些公式的證明中蘊涵著豐富的數學思想與方法，在教學時，僅強調公式結論本身，而對蘊涵在公式證明中的數學思想棄之不顧，可以說是撿了一個西瓜卻丟了另一個更大的西瓜，這無異于暴殄天物.

本文就此談一談某些公式證明中所蘊涵的數學思想與方法在解題中的應用，以期能引起各位同行的共鳴，不當之處，敬請批評與指正.

1.構造的思想

公式C﹎-1璶+C琺璶=C琺﹏+1是我們所熟知的組合數的一個性質，該公式在解題中有著非常廣泛的應用，此處篇幅所限，不再贅述.書本上對于該公式的證明采用了構造的方法，具體地說，是構造了一個取球的模型，從含有大小相同的n個白球與1個黑球的口袋內取出m個球，其方法數有C琺﹏+1種，而這些取法又可分為兩類：一類是含黑球，有C﹎-1璶種，另一類是不含黑球，有C琺璶種，由分類計數原理可得C﹎-1璶+C琺璶=C琺﹏+1.

該公式的證明中體現了一種構造的思想，從某種意義上說，該思想的價值更大于這個公式本身.用該公式能解決的問題，用該思想也必然能夠解決，而反之則未必.

例1 C0璶C琾璵+C1璶C﹑-1璵+…+C﹑-1璶C1璵+C琾璶C0璵=C琾﹎+n(m,n,p∈N,且p≤m,p≤n).

分析：要用公式C﹎-1璶+C琺璶=C琺﹏+1來證明這個等式，幾乎是無從下手.而利用類似于證明該公式的構造思想來解決這個問題則是易如反掌.

證明：構造如下模型：從含有大小相同的n個白球與m個黑球的口袋中取出p個球，有C琾﹎+n種取法.我們可以對取出的球中所含白球個數進行分類，一共可分為0，1，2，…p，這p+1類，每一類所對應的取法數分別為C0璶C琾璵,C1璶C﹑-1璵,…,C﹑-1璶C1璵,C琾璶C0璵.由分類計數原理可得C0璶C琾璵+C1璶C﹑-1璵+…+C﹑-1璶C1璵+C琾璶C0璵=C琾﹎+n.

2.分割的思想

在立體幾何的球這一節中，球的體積公式V=43πR3與面積公式S=4πR2是其中最重要的兩個公式，這兩個公式的證明都運用了分割以及求極限的思想，該思想在其他方面也有著廣泛的應用.

例2 已知扇形的半徑為r，弧長為l.

求證：S┥刃為=12rl(不得借助于圓的面積公式來證明).

分析：在不得借助于圓的面積公式的前提下，要利用常規方法證明該公式顯然是十分困難的，然而借助于分割并求極限的思想卻可使此問題迎刃而解.

證明：(1)如圖1所示將弧〢B分成n段，設它們的弧長分別是l1,l2,…,l璶，顯然，弧長l=l1+l2+…+l璶.連接OA1，OA2，…，OA﹏-1，整個扇形就被分割成n個小扇形，當小扇形的弧非常短時，可以近似地將小扇形看作為等腰三角形，它們的高近似于扇形的半徑r.

(2)求近似和：設n個小扇形的面積分別為S1，S2，…，S璶，則S┥刃為=S1+S2+…+S璶.由于小扇形近似于三角形，我們可以用相應三角形的面積，作為小扇形面積的近似值.設第i個三角形的底面邊長為l璱′，高為h璱，于是它的面積是S璱′=12?l璱′h璱,i=1,2,…，n.這樣就有S璱≈12l璱′?h璱以及S┥刃為≈12(l1′?h1+l2′?h2+…+l璶′?h璶)①

(3)化為準確和：易知，將小扇形分割得越小，①式的精確程度就越高.如果分割無限加細，每一個小扇形都趨向于無窮小，那么h璱(i=1,2,…，n)就趨向于r，l璱′就向趨向于l璱.于是我們由①式得出S┥刃為的準確值.S┥刃為=12?(l1?r+l2?r+…+l璶?r)=12r(l1+l2+…+l璶)=12rl.

可以看出，該公式的證明與球的表面積的證明有著異曲同工之妙.

3.裂項求和的思想

所謂裂項法，主要是在數列求和問題中，將其中的一項裂為兩項之差，在數列這一章，對于求數列a璶=1n(n+1)的前n項和S璶，絕大多數同學都已經掌握了裂項求和的方法，即將a璶裂項為1n(n+1)=1n-1n+1之后再求和，并且又將其推廣到a璶=1n(n+i)=1i?(1n-1n+i)的情況.而我認為還可以進一步挖掘它的解題功能，最大限度地將其發揚光大.

例3 已知數列{a璶}，其通項公式為a璶=1n(n+1)(n+2)，求其前n項之和S璶.

解：∵a璶=1n(n+1)(n+2)

=12?［(n+2)-n］n(n+1)(n+2)

=121n(n+1)-1(n+1)(n+2),

∴S璶=a1+a2+…+a璶

=1211?2-12?3+…+1n(n+1)-1(n+1)(n+2)

=1212-1(n+1)(n+2)

=n(n+3)4(n+1)(n+2).

例4 已知數列{b璶}，其通項公式為b璶=n(n+1)，求其前n項之和T璶.

解：因為3=(n+2)-(n-1)，則b璶=

n(n+1)=13n(n+1)［(n+2)-(n-1)］=13［n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)］，于是T璶=b1+b2+…+b璶=13(1?2?3-0?1?2)+13(2?3?4-1?2?3)+…+13［n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)］=13n(n+1)(n+2).

注：利用裂項求和的思想，可以解決與之相關的一類問題.

4.向量的思想

點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離公式：d=|Ax0+By0+C|A2+B2是解析幾何中重要的公式之一，教材中對于該公式的證明多采用面積法，其實該公式還可以用向量法來證明.

如圖2所示，|PQ|是向量㏑P(R是直線l上任意一點)在l的法向量n呱系耐隊.設∠RPQ=θ，則|PQ|=|㏑P遼?玞osθ，由向量數量積的定義可知：d=|㏑P遼?玞osθ=|㏑P?n遼|n遼，設法向量n=(A,B),R(x1,y1)，則㏑P=(x0-x1,y0-y1)，且Ax1+By1+C=0，從而可得：

d=|㏑P?n遼|n遼=|A(x0-x1)+B(y0-y1)|A2+B2=|Ax0+By0+C|A2+B2.

向量作為一種常用工具，在數列、三角函

數、解析幾何、立體幾何中均有著廣泛地運用.

例5 如圖3所示，拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，經過點F的直線交拋物線于A，B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸.求證：直線AC經過原點O.

證明：設A(x1,y1),B(x2,y2),

Fp2,0，則C-p2,y2，∴〧A=x1-p2,y1,〧B=x2-p2,y2且㎡A=(x1,y1),㎡C=-p2,y2.∵〧A哂氌〧B吖蠶擼∴x1-p2y2-x2-p2y1=0①.把x1=y212p,x2=y222p代入①式可得y1y2=-p2.

又∵x1y2+p2y1=y212p?y2+p2?y1=y1y22p?y1+p2y1=-p2?y1+p2?y1=0.∴㎡A哂氌㎡B呤槍蠶呦蛄浚即A，O，C三點共線，也就是說直線AC經過原點O.

“回顧以往的數學教學，往往只注重‘知識點，可以說是千方百計地把知識點深化、強化，把一些不該發展的東西過于強化，卻不注意對數學思想和本質的揭示，不注意促進學生的發展，可謂是‘目中無人.”

由此可見在教學中，不僅要強調公式結論本身，而且應該重視蘊涵在公式證明中的數學思想，這是符合《普通高中數學課程標準》的精神的.這樣的教學可以使學生解決問題的能力得到本質的提高，進而能增強他們的應用意識與創新精神，使其受益終身.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準(實驗).北京：人民教育出版社，2003，4.

［2］普通高中課程標準實驗教科書.數學2.江蘇教育出版社，2004，8.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”