打破學科界限　培養學生解綜合題的能力

劉小洪

由海南、廣東等省率先進行的新一輪教材試驗，更加注重學生的個性發展，它符合教育部制定的《面向21世紀教育振興行動計劃》中提出的實施“跨世紀素質教育工程”.通過課程教材改革，評價制度改革，全面推進素質教育的發展，并提出了高考內容改革的總體要求：更加注重學生能力和素質的考查.那么我們教師又該怎樣提高學生以及自身的能力和素質呢?下面我們來看一道習題(新教材高一上第141頁總復習A組第13題)

將銅片繞在盤子上，空盤時盤芯半徑為40毫米，滿盤時半徑為80毫米，銅片的厚度為0.1毫米.

求：(1)滿盤時共繞了多少圈；

(2)滿盤時銅片的長度.(精確到0.01玬)

(提示：按銅片厚度的中心線計算各圈半徑)

該題第一問較易解答：80-400.1=400圈.第二問的一般解答為數列方法：由提示知第一圈銅片半徑為40.05玬m；第二圈為40.15玬m，以此類推，即為：已知a1=40.05,d=0.1,n=400,求S璶.

S400=400×40.05+400×(400-1)2×0.1=16020+7980=24000玬m,總長度=2π×S400=150796玬m≈150.80玬.

在教學當中發現有一位學生用物理方法同樣解出了該題的第二問.他的思路為：銅片末卷起之前可看作長方體，卷起后為圓柱體，前后體積應相等，則有以下解法：

設銅片全長為y,寬為x，厚度為0.1，則卷起后柱體高為x，底面積為π(802-402)，由體積相等得0.1?x?y=π(802-402)?x，可解得y≈150796玬m≈150.80玬.

該方法新穎簡潔，說明該生解題思維具有獨創性.教師在平時的教學中應多加引導，鼓勵學生在解題中思維的發散.這個例子也說明我們平時教學生一題多解，往往還是在數學范圍內的一題多解，即多種方法最終還是數學方法，沒能發散到其他學科去.目前國家試題組在全國范圍內征集綜合題.我的理解，綜合題應該是綜合多種學科不同知識點的題目，而不是單純的數學綜合或者物理的綜合，即解綜合題的過程中會用上數學的方法、物理的理論、化學的知識等等.在新教材中向量這一部分就有很多和物理力學有關的問題.例如新教材高一下第154頁習題第8題.

作用于同一質點的兩個力F1=86玁,F2=83玁，且F1、F2的夾角為77°12′，求合力F及合力F與F1所成的角β(力精確到1玁，角度精確到1°).

該題首先要求學生知道物理中合力的概念以及合力的求法，即為向量中的平行四邊形法則，然后通過畫力的示意圖，再抽象為三角形，運用解三角形的知識并借助計算器求解.這個題就要求學生綜合物理知識解題，當然這個題對物理知識的要求不高，下面再看幾個例子.

例1 已知直角坐標系平面上有兩點A(-2，1)，B(3，4).求一點P使其滿足以下兩個條件①P點在x軸上，②P到A、B兩點距離之和最小.

這是一道比較多見的題，如圖，一般的做法是先找到A(或B)關于x軸的對稱點A′(或B′)然后連BA′(或B′A)與x的交點P即為所求.

它的理論依據大多老師會再找一點P′利用三角形兩邊和大于第三邊說明問題，實際上利用物理學當中光的反射原理以及光線傳播路徑為最短路徑的理論即可說明.A′即為A在鏡中(x軸)所成像，圖即成為一束光的反射圖.這樣一來這個題目就很容易讓學生明白.

例2 求玞osπ5+玞os3π5的值.

該題的常見解法是利用和差化積，再利用倍角公式.

解法一：玞osπ5+玞os3π5=2玞osπ5+3π52?

玞osπ5-3π52=2玞os2π5玞osπ5=玸in4π52玸inπ5=12.

解法二：玞osπ5+玞os3π5=

2玸inπ5玞osπ5+2玸inπ5玞os3π52玸inπ5=玸in4π52玸inπ5=12.

以上兩種解法都運用到了積化和差公式，在新教材中積化和差、和差化積公式只在例題和練習中出現證明，不作為學生必須掌握的公式.那么不用這兩個公式可以解出這個題嗎?答案是肯定的，下面就給出這類題的物理解法：5個大小為1牛頓的力，它們與x軸成角分別為π5、3π5、5π5、7π5、9π5，高中學生都知道像這樣均勻分布的力的合力顯然為零.若干個力的合力為零等價于這幾個力在x軸上的分量的合力為零且在y軸上的分量的合力也為零.則有下式成立：

F1?玞osπ5+F2?玞os3π5+F3?玞os5π5+F4?玞os7π5+F5?玞os9π5=0,因為F1=F2=F3=F4=F5=1，所以玞osπ5+玞os3π5+玞os5π5+

玞os7π5+玞os9π5=0，又因為玞osπ5=玞os9π5，

玞os3π5=玞os7π5,玞os5π5=-1，所以原式=12.這種解題的方法非常簡單，但它要運用一定的物理力學知識.

例3 現有含鹽7%的鹽水200克，生產需要含鹽在5%以上且在6%以下的鹽水，設需要加入含鹽4%的鹽水x克，則x的范圍是( ).

A.［100，400］ B.(100，400)

C.［200，500］ D.(200，500)

答案為B.若用數學方法，則須解兩個方程，然后確定答案.若用化學方法即用化學題中計算兩混合體平均分子量的方法(十字交叉法).

5%-4%=1%，7%-5%=2%，即7%的鹽水與4%的鹽水的質量比為1∶2，所以4%的鹽水應為400克，由于“5%以上”不包括5%，所以答案也不包括400，取開區間.同理可求另一解.

例4 在一原子反應堆中，用石墨作減速劑，使快中子減速.已知碳核的每一次碰撞都是彈性正碰撞，而且認為碰撞前碳核都是靜止的.

(1)問經過一次碰撞，中子損失的能量是多少?(設碰撞前中子的動能是E0)

(2)至少經過多少次碰撞，中子的動能才能小于10-6狤0?(玪g13=1.14,玪g11=1.041)

解：(1)設中子和碳核的質量分別為m和M，碰撞前中子的速度為v0，碰撞后中子和碳核的速度分別為v和V，由動量守恒得：mv0=mv+MV (1)，又因為是彈性碰撞，由動能守恒定律得：12mv02=12mv2+12MV2 (2).由(1)、(2)解得V=-1123v0，即碰撞過程中損失的能量為△E=12mv02-12mv2=48169E0.

可見，用數學的語言和方法表述物理概念、物理定理十分重要.有的學生學得比較呆板，只把公式背下來，而不理解它的物理意義，所以就得不到(1)、(2)方程，或者不知如何對待未知的中子質量，感到兩個方程三個未知數而不得其解，其原因是思路不清，對待解二元一次方程組的計算技巧不熟練.

(2)設E1、E2、E3、…、E璶分別為中子在第一、第二次、…、第n次碰撞后的動能，由△E=48169E0得：E1=E0-△E=(1113)2E0同理得：E2=(1113)2E1=(1113)4E0(類似數列通項公式的推導)可知：E璶=(1113)2n狤0 (3)

因為E璶=10-6狤0,所以10-6狤0=(1113)2n狤0,

即10-6=(1113)2n,2n(玪g13-玪g11)=6,得n=41.1.所以需要經過42次碰撞，中子的動能才會小于10-6狤0.

可見，不僅要會用數學式子表達出物理規律的內在聯系，還要有熟練的運算技能.不然，即使有了(3)式也無法解得碰撞的次數.

以上我們看到了數學和物理、化學解題中的相互運用，我們的教學就應沿著這個方向進行，這樣才能充分挖掘出學生的創造性.我們要圍繞著以素質教育為中心、構建以面向21世紀、體現教育基本規律、突出學生的發展為本的新課程體系和新教材體系；加強對學生人格的健全塑造；加強對學生發展性學力，創造性學力的科學培養.今后跨學科的綜合教育勢在必行.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”