促進學生數學理解的教學規范性實踐探究

季冬青

在數學教學活動中，我們常會發現這樣的現象：教師總是一個勁的抱怨學生連課堂上做過的習題，在考試中仍然做不出來，真所謂：教師把知識“拋”得越快，學生忘得越快(馬明).因此筆者認為衡量教學的標志就是要看學生在課堂上理解了多少，正如文［1］中指出的“教得好=一定學得好”，而規范性恰是衡量課堂教學的一個指標.美國課程專家Grant Wiggins & Jay Mctighe 在著作《Understanding by Design》圍繞“課程的逆向設計”展開研究，為課堂規范性實踐提供了諸多具有實踐性的課題［2］.美國國家研究協會在為期兩年的高中學生研修計劃中提出了七個有效促進學生理解性學習的課堂規范性操作的基本原則.

而Fennema和Sowder、Carpenter在《Creating Classroom that Promote Understanding》的研究論文中有一方面就是要“建立相關的課堂規范性實踐，這種規范包括兩種：把理解作為學數學和做數學的主要特征；要學生詳述問題解決和思維過程”.文［3］中指出學生對知識的理解除了要有一定的心理基礎之外，還必須選擇和調動起相稱的認知圖式，而只有規范性教學方能使得學生合理建構知識.在文［4］中，建構主義理論認為教師的一項重要的工作就是要從學生實際出發，規范我們的課堂教學行為，讓學生通過其主動參與建構起新的認知結構.

所以，筆者認為，為了促進在課堂上學生對數學的理解，完全有必要讓我們的教學具有規范性，本文就課堂規范性實踐，主要談下面三個方面的教學嘗試.

1 教師合理搭建腳手架，促進學生對數學概念的理解

教師要以大多數學生“跳一跳，能拿到”的水平為教學起點，將教學目標按由易到難，由水平要求到能力要求，分解為若干層次逐步教學，合理搭建腳手架，降低學生的失敗感，使他們既認識到問題的難度，又可以在動手解決問題的過程中，嘗到成功的喜悅，樹立學習的信心.

例如筆者在復習數列{an}的通項與函數之間的關系時，作了設計如下：

(1)若數列{an}的通項an=2n-1(n∈N*)，試在坐標系中作出其圖像，并說明這個數列的單調性；

(2)若數列{an}的通項an=1n-72(n∈N+*)，問數列中有無最大項，最小項?

(3)設遞增數列{an}的通項an=n2+λn(n∈N*)，求實數λ的取值范圍；

(4)某工廠2007年生產利潤逐月增加，且每月增加的利潤相同，但由于廠方正在改造建設，1月份投入建設資金恰好與該月的利潤相等，隨著投入資金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月份投入建設資金又恰好與12月的生產利潤相同，則該廠2007年全年總利潤M與全年總投入N的大小關系如何?

2 教師注重培養學生探究問題的能力，通過解題教學促進對數學的理解

南京師范大學的喻平教授在其博士論文《數學問題解決認知模式及教學理論研究》中，提出了“CPFS結構理論”模型，重點探究了“數學解題遷移研究”，G·玻利亞和羅增儒教授在其各自的著作中通過詳實的例子揭示了解題對于學生對數學知識的理解有巨大的推動作用，而文［7］中關于“變式教學”研究更是從一個時代的高度解釋了華人在數學上取得優異成績的原因所在.故此，筆者在高中數學課堂中，針對解題教學作為促進學生對數學的理解的有效途徑之一，進行了以下兩個方面的嘗試.

2.1 主題訓練

所謂“主題訓練”就是圍繞一個數學主題而進行的解題訓練，比如以“等差數列前n項和Sn”這節習題課為例，筆者圍繞這一主題展開教學.

題目 已知{an}為等差數列，Sn=m,Sm=n(m≠n,m,n∈N*)，求Sm+n.

結合所學知識，引導學生圍繞Sn給出了五種常用的方法：

解法一：(方程思想)

m=na1+n(n-1)d2

n=ma1+m(m-1)d2解得a1,d代入Sm+n=(m+n)a1+(m+n)(m+n-1)d2可求.

解法二：(整體代換)在上述聯立方程中，兩式作差得出a1+m+n-12d=-1，再整體代入Sm+n可求.

解法三：(巧用通項)不妨設m>n,則Sm-Sn=an+1+an+2+…+am-1+am=n-m=(m-n)(an+1+am)2,則a1+am+n=an+1+am=2(n-m)m-n=-2,故Sm+n=(m+n)(a1+am+n)2=-(m+n).

解法四：(活用性質)Am2+Bm=n

An2+Bn=m

A(n+m)+B=-1Sm+n=(m+n)［A(m+n)+B］=-(m+n).

解法五：(數形結合)根據(n,Snn),(m,Smm)，(m+n,Sm+nm+n)三點共線求解.

通過這樣的教學設計，可以讓學生的知識由點到面有機整合，從而促進他們對前n項和Sn的理解.

2.2 變式教學

例如復習拋物線時，采用了六個變式，深化了學生對“頂點弦問題”的理解.

題目 設A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點，且OA⊥OB，

(1)求A、B兩點的橫坐標之積和縱坐標之積；

(2)求證：直線AB經過一定點；

(2)求弦AB的中點軌跡方程；

(4)求△AOB面積的最小值.

變式1 如何求頂點O在直線AB上的射影D的軌跡方程.

變式2 如改為以OA，OB為直徑作圓，求兩圓異于原點的另一交點M的軌跡.

變式3 設AB是拋物線y2=2px(p>0)過焦點的弦，O是拋物線頂點，

(1)證明∠AOB是鈍角；

(2)證明p∈R時，所有拋物線的∠AOB的最大值都相等.

變式4 設△AOB為拋物線y2=2px(p>0)的內接三角形(指其各頂點都在拋物

線上)，問直線AB在x軸上的截距在什么范圍內變化時，頂角∠AOB為銳角?

變式5 設A、B是拋物線y2=2px(p>0)上兩個動點(原點除外)，O為坐標原點，直線OA，OB對x軸的傾角分別為α，β，且滿足α+β=135°，作OP⊥AB，求垂足P的軌跡方程.

變式6 已知兩條拋物線y=a1x2(a1>0)與y=a2x2(a2>0)，經過原

點O引與這兩條拋物線都相交的直線OA2A1，OB2B1，OC2C1，與這兩條拋物線的交點分別為A1，A2，B1，B2，C1，C2.

(1)求證：△A1B1C1∽△A2B2C2；

(2)求上述兩三角形面積之比.

3 教師要善于創造機會，讓學生在錯誤辨析中加深對數學的理解

李善良先生在其博士論文《現代認知觀下的數學概念學習與教學研究》中專門深入研究了“數學概念學習中的錯誤分析”，他指出，數學概念學習中常見錯誤有：過程性錯誤和“合理性”錯誤.文［8］中對學生大腦里的概念表征做了歸納，分析了學生數學學習中錯誤的認知心理學原因以及錯誤的類型，提出數學教師要積極看待學生的錯誤，探詢學生理解概念時的視角和認知方式，通過學生與他人或教師的互動，以及學生對已有表征進行精致化加工和改造——從而達到正確建構概念的目的.所以，筆者認為，任何一個學生即使是一個學習數學有困難的學生，也可以在他的內部知識建構中看到一定的進步，應該給予鼓勵和支持.故筆者創造機會，讓學生大膽發言，通過對話，表述自己的思維過程，讓他們在相互交流中認識錯誤，改正錯誤，從而加深對數學的理解.

題目：設函數y=f(x)的定義域為R，則函數y=f(x-1)與y=f(1-x)的圖像關于().

A.直線y=0對稱 B.直線x=0對稱

C.直線y=1對稱 D.直線x=1對稱

以下是實際課堂教學情景：

首先，筆者問一個選B的學生甲，他說：我看x-1和1-x是相反數，那么就是自變量取相反數的時候，函數值相等，所以為偶函數，而偶函數圖像關于y軸對稱，y軸的方程就是x=0，因此選B.女同學乙的解釋是：根據結論：若f(a+x)=f(b-x),x∈R恒成立，則y=f(x)的圖像關于直線x=a+b2成軸對稱圖形，那么就是關于x=(x-1)+(1-x)2=0對稱.

接著，筆者作啟發：能否借助特殊的函數來考慮，有幾個同學想到了二次函數，他們說：用f(x)=x2，則f(x-1)=(x-1)2,f(1-x)=(x-1)2，顯然兩者的圖像重合，關于直線x=1對稱，只有D正確.由此幾個學生發現，乙女生的錯誤在于她用了結論，而本題不能套用這結論的!因為上述所用的結論的假設對象是對一個函數而言，而題中y=f(x-1)與y=f(1-x)顯然不一定是同一函數，而如果改為：函數y=f(a+x)與y=f(b-x),x∈R的圖像關于直線x=12(a-b)對稱，則無疑就正確了.

課講到這里，筆者見有兩個女生一邊在紙上畫著什么，一邊在小聲嘀咕什么，于是就叫起其中一個女生，她臉漲得通紅，小心翼翼地說：能否利用圖像平移來做?于是筆者問她如何考慮，她說：因為函數y=f(x)與y=f(-x)的圖像關于y軸對稱，而y=f(x-1)就是把y=f(x)的圖像向右移一個單位得到，而y=f(1-x)就是把y=f(-x)的圖像向左平移一個單位得到的，所以函數y=f(x-1)與y=f(1-x)的圖像還是關于y軸對稱.筆者一看，此女生對函數圖像平移中的“左加右減”的四字訣印象頗深，但是其中犯了一個錯誤，應該把y=f(1-x)表達式改寫成y=f(1-x)=f［-(x-1)］，因為“左加右減”的四字訣是從移軸公式x′=x-hy′=y-k得出的，而變換公式中僅對x,y作用，其前面系數為1，所以單純叫學生記住“左加右減”的四字訣是不夠的，在練習中應強調函數表達式的改寫問題.這時有個學生站起來說：用換元法也可以的，令t=x-1，則原來兩函數解析式就可以表示為y=f(t)與y=f(-t)，那就是在新坐標系中關于t=0對稱，即在原坐標系中關于直線x=1對稱.最后，筆者表揚了他們大膽發言的勇氣，隨即引導學生完成本道題的證明，本節習題講解課上，通過這樣的分析過程，使得學生對有關函數圖像的相關知識就有了深入的理解.

高中新課程標準［9］實施以來，教師的職業發展面臨巨大的挑戰，同時也蘊藏著更多的機遇，正如文［3］［10］所講，我們教師只有不斷地學習，更新原有的認知結構［11］，提高教學能力，采用行動研究的方法，規范我們的課堂這一教學主陣地，才能使我們的教育事業生機蓬勃.教師的任務，不僅僅是讓學生從外部欣賞數學家們創造的成果，接受它們的邏輯與意義，而且要讓學生進入數學，感受數學［12］，去理解數學知識產生和形成的內部動態過程，弄清楚其生長的動力、原因和方法，把握數學的精神與實質.另外學生雖然不是數學家，但是他們可以建構自己眼中的數學，所以數學課堂或許應該看作是動態的、開放的甚至允許學生“犯錯”的數學活動的場所［3］，教師應該讓學生根據自己的個性和體驗來理解數學，規范自己的教學，力爭讓不同的學生發揮主體性，以期建構不同的數學，也許這樣更能體現新課程的理念.

參考文獻

［1］馬復.設計合理的數學教學.高等教育出版社，2003，8.

［2］呂林海.數學理解性學習與教學研究.華東師范大學2005年博士論文.

［3］李士钅奇.PME：數學教育心理.華東師范大學出版社，2001，6.

［4］袁振國主編.當代教育學.教育科學出版社，2004年修訂版.

［5］G·玻利亞.怎樣解題.科學出版社，1984.

［6］羅增儒.數學解題學引論.陜西師范大學出版社，1997，6.

［7］范良火.華人如何學習數學(中文版).江蘇教育出版社，2005，7.

［8］呂林海.錯誤分析與數學理解：基于心智表征的分析.全球教育展望.2004，11.

［9］教育部.普通高中數學課程標準(實驗).人民教育出版社.，2003，4.

［10］王林全、劉美倫、張安慶主編.高中數學新課程實驗與探索.高等教育出版社，2004，10.

［11］鄭毓信、梁貫成.認知科學建構主義與數學教育.上海教育出版社，2002，12.

［12］唐瑞芬主編.數學教學理論選講.華東師范大學出版社，2001，1.

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