數學選題應充分體現數學新課程的特點

徐玲芳

結合高中數學新課程的主編寄語以及數學教學實踐，筆者認為數學新課程的特點是：數學是自然的；學數學能提高能力；數學是清楚的；數學是有用的；數學教師應有人本理念.數學教學應緊扣數學特點，精心選擇數學問題，不斷激發學生學習數學的動機，隨著數學教學過程的展開形成幾個高潮，使學生經常處于“憤悱”的狀態中，培養學生的各種能力，做到“以題激情、情知交融”.下面筆者結合數學新課程的特點，談談在數學選題方面的一點體會.

1 數學選題要體現“數學是有用的”

數學選題要體現“數學是有用的”.什么叫有用，什么叫無用，可以用來買菜、算賬就是有用嗎?或者更高級一點，可以用來計算銀行利息、看懂股市行情就是有用嗎?再 高級一點，能夠用來解決某個實際問題就是有用嗎?都是，但又不完全是，數學的有用性更加體現在數學是一種思考方式上，日本教育家米山國藏指出：“作為知識的數學，學生出校門不到兩年就忘了，惟有深深銘記在頭腦中的是數學精神、數學思想、研究方法和著眼點等，這些卻隨時隨地發生作用，使他們終生受益”，學習數學是學生學習了一種科學的數據處理方法，使學生能從紛雜的數據中看到一些共性和個性的特點，能看到一些事物間的本質聯系，這一切對于學生才是終身受用的.所以數學選題時要選擇一些貼近生活，貼近實際的數學問題，同時這樣的數學問題還要體現出一定的數學思想和數學方法，這樣的數學問題是可以給學生創設一個觀察、聯想、抽象、概括、數學化的過程，讓學生感受生活中不但要用到數學，而且還要用到數學思維和數學思想方法，在這樣的數學問題下，學生一定會想學、樂學、主動學，從而激發學生學習和探究數學的興趣.

案例1 在“均值不等式”一節的教學中，可設計如下實際應用問題，某商店在節前進行商品降價酬賓銷售活動，擬分兩次降價.有三種降價方案：甲方案是第一次打p折銷售，第二次打q折銷售；乙方案是第一次打q折銷售，第二次打p折銷售；丙方案是兩次都打p+q2折銷售.請問：哪一種方案降價較多?(引導學生解決這個實際問題需要怎樣的數學思維方式和數學思想，讓學生充分感受數學思維方式和數學思想的重要性).

2 數學選題要體現“學數學能提高能力”

考綱明確指出：對數學能力的考查，以邏輯思維能力為核心，全面考查各種能力，強調考題必須具有探究性、綜合性、應用性.因而數學探究能力的培養有著十分重要的意義，探究能力是各種能力中的較高層次，它要求學生會對數學問題或資料進行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括，并能準確、清晰、有條理地進行表述.探究能力的培養不是一朝一夕可以完成的，所以應該把探究能力的培養貫穿于數學教學的全過程.如何選擇一些具有探究意義的數學問題來充分暴露學生的思維過程是提高學生能力的前提，怎樣的數學問題才具有探究性呢?筆者認為這樣的數學問題不一定有解，答案不必唯一，條件可以變化，解決方案可以自己設計，允許與別人討論等等.比如在圓錐曲線教學選題時，筆者常選一些可以改變條件或一題多解的數學問題來培養學生的探究能力.

案例2 直線y=2x+m與拋物線y=x2相交于A、B兩點， ，求直線AB的方程.(需要補充恰當的條件，使直線方程得以確定).

此題一出，學生的思維便很活躍，補充的條件形形色色，從而激發了學生的探究欲望.例如：①|AB|=4;②若O為原點，∠AOB=90°；③AB中點的縱坐標為6；④AB過拋物線的焦點F.在探究過程中涉及到的知識有韋達定理、弦長公式、中點坐標公式、拋物線的焦點坐標，兩直線相互垂直的充要條件等等，學生實實在在地進入了探究“狀態”，學生的探究能力得到一定的培養.

新課程在注重培養探究能力的同時，還注重學生的創新意識和實踐能力的培養，所以在選題時要選擇一些能啟發學生發現問題和提出問題的數學問題，從而使數學教學成為再發現、再創造、再實踐的探究過程.例如在學習必修3的統計章節時，可以統計班級學生的身高；可以統計班級學生的學習成績；可以統計班級學生的興趣愛好；可以用來統計班級學生的學習用品等等為選題的內容.

3 數學選題要體現“數學是自然的”

數學新課程中的數學內容是在人類長期的實踐中經過千錘百煉而得到的精華和基礎，其中的數學概念、數學方法與數學思想的起源與發展都是自然的，所以在數學課堂教學中的選題也要體現“數學的自然性”.

案例3 選修1-1和選修2-1的充分條件和必要條件是高中數學中的一個重要概念，并且是教與學的一個難點，另外每個教室都裝有日光燈，教學時可以選擇這樣的數學問題：“電燈亮著”是“有電”的什么條件，“有電”是“電燈亮著”的什么條件，這是很自然，因為這是學生每天接觸的物件，而且學生也是很自然的得出：“電燈亮著是有電的充分條件，有電是電燈亮著的必要條件”.另外學生已經學過物理的電路圖，此時可以自然設計如下四個電路圖.

視“開關A的閉合”為條件A，“燈泡B亮”為結論B，給充分不必要條件、必要不充分條件、充分必要條件、既不充分又不必要條件以十分貼切、形象的詮釋，使學生興趣盎然，對“充要條件”的概念理解得比較自然而且入木三分.

數學選題的自然性還要體現：“選題必須符合學生實際的認識水平，要在學生的最近發展區選題”.按照心理學，人的認識水平分為：

人的認識水平就是在這三個層次間循環，不斷轉化，螺旋式上升，不宜停留在已知區和未知區，即不能太難和太容易，要自然的從學生的“最近發展區”選題，即知識的增長點選題，這樣有助于原有認知結構的鞏固，也便于將新知自然的同化，使認知結構更加完善.

案例4 在“拋物線及其標準方程”一節的教學中，引出拋物線定義“平面上與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線”之后，選這樣的問題：初中已學過的一元二次函數的圖象就是拋物線，而今定義的拋物線與初中已學的拋物線從字面上看不一致，它們之間一定有某種內在聯系，你能找出這種內在的聯系嗎?

這樣的數學選題非常自然，又是在學生的最近發展區內，結論應該是肯定的，而課本中又無解釋，這自然會引導學生探索其中奧秘的欲望(一元二次函數可以y=x2為例)，此時，教師可根據情況決定要不要點撥：我們目標是一元二次函數的圖象符合拋物線定義，從y=x2入手推導出曲線上動點到某定點和某定直線距離相等.學生紛紛動筆變形、拼湊，找到了定點F(0，14)和定直線l：y=-14，一元二次函數y=x2的圖像上的動點P與定點F的距離正好等于它到直線l的距離，完全符合現在的定義，這樣的選題和探究完全在學生的最近發展區內，學生很自然的入手解決，使得新舊知識能夠自然的同化.

4 數學選題要體現“數學是清楚的、嚴密的”

數學是清楚的，清楚的前提，清楚的推理，得出清楚的結論，數學的命題，對就是對，錯就是錯，不存在絲毫的含糊.在數學選題中多選一些能夠讓學生自己找出錯誤解答之處和相應的原因而不是等待教師的批改.從而培養學生的辨別能力，清楚地知道自己解對還是解錯，增強防御“陷阱”的經驗.

案例5 (1)判斷命題的真假：“已知a,b是實數，若a>b，則a>b.”

這樣的數學問題答案是清楚的，因為只需從逆否命題角度清楚地知道是假的，但很多學生會認為這個命題真的.選擇這樣的數學問題，讓學生自己找出問題的答案和出錯之處，不但能鞏固學生的數學知識和數學思想方法，而且還能培養學生的辨別能力.(逆否命題：“已知a,b是實數，若a>b,則a>b.”)

(2)命題p:四條邊相等的四邊形是正方形(假命題).命題q:四個角相等的四邊形是正方形(假命題).請構造命題p∧q.

很多同學答案是：四條邊相等且四個角相等的四邊形是正方形(真命題)，但依據真值表又清楚的知道這樣構造的命題是不對的，問題出在何處?正確的復合命題“p∧q”又應該如何構造?這個命題又是什么命題呢?等，我相信學生自己會探究清楚.

數學是嚴密的，為了培養學生思維的嚴謹性，可選一些開放性大的數學問題，讓學生去嘗試，去“碰撞”和“跌跤”，讓學生充分“暴露問題”，然后順其錯誤或遺漏認真剖析，不斷引導，使學生恍然大悟，留下深刻印象.更主要地是能使學生參與討論，在討論中自覺地辨析正誤，取得學習的主動權.英國心理學家貝恩布里奇說過：“差錯人皆有之，作為教師不利用是不能原諒的.”

案例6 若函數f(x)=ax2+2ax+1圖象都在x軸上方，求實數a的取值范圍.

學生因為思維不嚴密，往往錯解為a>0且(2a)2-4a<0，即0

案例7 雙曲線x225-y2144=1上一點P到右焦點的距離是5，則下面結論正確是().

A.P到左焦點的距離為8

B.P到左焦點的距離為15

C.P到左焦點的距離不確定

D.這樣的P點不存在

根據學生平時練習的反饋信息，有兩種錯誤解法(都錯誤的認為結論是B)：

錯解1：設雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=±10，