線性回歸模型異方差的診斷與修正

　　摘要：文章通過實際案例分析，介紹了回歸模型異方差性的診斷與修正的幾種方法，并給出了如何結合EVIEWS軟件實現異方差性的檢驗與消除的方法和程序。
　　關鍵詞：計量經濟學；線性回歸模型；異方差；EVIEWS軟件
　　
　　經典線性回歸模型Y=f（x）+u的一個重要假設就是回歸方程的隨機誤差項u的方差為常數。但是由于現實經濟活動的錯綜復雜性，一些經濟現象的變動和同方差的假定經常是相悖的。尤其是當使用截面數據時，通常會遇到同方差性不滿足的情況，即隨機誤差項出現異方差。
　　異方差的存在給用OLS估計得到的模型帶來以下不良后果：參數估計量非有效；解釋變量的顯著檢驗失效；估計與預測精度降低，造成回歸模型不能使用。因此，在實際建模中，用OLS方法得到具體模型形式后，并不能馬上將其應用于現實經濟問題的分析及預測中，必須首先診斷此模型是否存在異方差性，只有進行異方差診斷和修正，并在所有必要的檢驗都通過之后，才能轉入模型的應用。
　　在計量經濟分析過程中，對回歸模型異方差性的檢驗與修正的方法有很多種，本文僅介紹幾種常用且能基于EVIEWS軟件實現的方法。
　　
　　一、EVIEWS軟件簡介
　　
　　EVIEWS是美國QMS公司研制的在windows下專門從事數據分析、回歸分析和預測的工具，通常稱為計量經濟學軟件包，是當今世界上最流行的計量經濟學軟件之一。
　　EVIEWS（Econometrics Views）的本意是對社會經濟關系與經濟活動的數量規律，采用計量經濟學方法與技術進行“觀察”。計量經濟學研究的核心是設計模型、收集資料、估計模型、檢驗模型、運用模型進行預測、求解模型和運用模型。EVIEWS是完成上述任務得力的必不可少的工具。EVIEWS擁有數據處理、作圖、統計分析、建模分析、預測和模擬6大類功能，可應用于科學計算中的數據分析與評估、財務分析、宏觀經濟分析與預測、模擬、銷售預測和成本分析等。正是由于EVIEWS等計量經濟學軟件包的出現，使計量經濟學取得了長足的進步，發展成為實用與嚴謹的經濟學科。
　　EVIEWS具有現代Windows軟件可視化操作的優良性。可以使用鼠標對菜單和對話框進行操作，也可以通過主窗口上方的命令窗口輸入命令。本文將通過實例介紹EVIEWS在異方差性的檢驗與修正上的應用。
　　
　　二、實例分析
　　
　　分析中國2004年各地區城鎮居民平均每人全年家庭可支配收入（x，元）與交通和通訊支出（y，元）的關系，以預測隨著收入的增加，人們對交通、通訊的需求。中國城鎮居民平均每人全年家庭可支配收入（x，元）與交通和通訊支出（y，元）如表1所示。
　　由表1可以看出，隨著人均家庭可支配收入的增加，人均交通和通訊支出也表現出增加的趨勢，而且增加的速度加快。不同收入家庭的交通和通訊支出表現出很大的差異。例如，廣東人均家庭可支配收入為14953.39元/年，人均交通和通訊支qdLffBV6vSDtKHFr0Kj4Mw==出為967.13元/年；上海人均家庭可支配收入為18501.66元/年，人均交通和通訊支出為900.12元/年。這就很難保證同方差的假定。
　　（一）用OLS方法估計參數
　　設模型為yt=bo+b1xt+ut，運用EVIEWS軟件操作過程如下：首先建立工作文件，輸入樣本數據，然后在主窗口命令行輸入命令“LS ycx”，回車，即可得回歸結果如表2所示。
　　 t=348.2365+0.035262xt
　　（13.37372） （13.96414）①
　　R2＝0.870534，s.e.＝40.69252，
　　F=194.9973
　　（二）異方差性診斷
　　1、Goldfeld-Quanadt檢驗
　　檢驗的操作步驟：
　　先將解釋變量x從小到大（或從大到小）排列，再刪去正中心的c個樣本值，將剩余的n-c個樣本值劃分為容量都是 的兩個子樣本，使其分別包含x的較小值和較大值。
　　對兩個子樣本分別用OLS擬合回歸方程并分別求出殘差平方和RSS1和RSS2。
　　計算兩個子樣本方差：δ12＝ ；δ22= ；（其中k為解釋變量的個數）。
　　計算F值：F＝ ＝ ，且F服從Fα（ -k-1， -k-1）分布。
　　判斷：若F＞Fα，則隨機誤差項存在異方差性；若F≤Fα，則不存在異方差性。
　　EVIEWS軟件實現：該例中，樣本數據個數n=31，c= 為了使兩個樣本的容量相同，從中間去掉9個數據（即取c=9）。在主窗口命令行輸入命令：
　　SORTX
　　SMPL111
　　LS YCX回車，得結果：RSS1
　　=3880.507
　　接著，輸入命令：SMPL2131
　　LSYCX回車，即得：RSS2＝30192.9
　　計算出F=30192.9 /3880.507=7.78。
　　取α＝0.05時，查F分布表得F0.05（9，9）＝3.18，而F＝7.78＞F0.05（9，9）＝3.18，所以模型①存在（遞增的）異方差性。
　　2、Glejser檢驗
　　檢驗的操作步驟：根據樣本數據用OLS估計回歸模型并求殘差et；分別建立|et|對解釋變量的各種回歸方程；檢驗每個回歸方程參數的顯著性。若其參數顯著地不為零，即認為存在異方差性。
　　EVIEWS軟件實現：
　　在主窗口命令行輸入以下命令：
　　LSycx
　　GENRE=ABS（RESID）
　　GENRXT=X^2
　　LSecxt 回車，得回歸模型：
　　 t＝-2.576121+2.75E-0.7x2t
　　t=（-0.366939）（5.024229），
　　R2＝0.465368
　　接著輸入命令：
　　GENRsqrt=sqr（x）
　　LSecsqrx回車，得回歸模型：
　　 t＝-115.0179+1.436779
　　t=（-3.79398）（4.714942），
　　R2＝0.433933
　　再輸入命令：
　　GENR chux=1/x
　　LS e c chux回車，得回歸模：
　　 t＝111.7659-792225.9
　　t=（5.402113）（-4.203765），
　　R2＝0.378638
　　上述模型回歸系數均顯著不為零，即認為模型①存在異方差性。
　　3、White檢驗
　　檢驗的操作步驟：
　　用OLS估計模型，并計算出相應的殘差平方e2t，對于一元線性回歸模型，作輔助回歸模型e2t＝a0+a1xt+a2x2t+vt；
　　計算統計量nR2，其中n為樣本容量，R2為輔助回歸函數中的未調整的可決系數。
　　在H0：a1＝a2＝0的原假設下，nR2漸進地服從x2α（2）。若nR2＞x2α（2），則拒絕H0，接受H1，表明回歸模型中參數至少有一個顯著地不為零，即隨機誤差項存在異方差性。反之，則認為不存在異方差性。
　　EVIEWS軟件實現：在方程窗口中依次點擊：View/Residual Test/White Heteroskedasticity.此時可以選擇在輔助回歸模型中是否包含交叉項（Cross terms），該例為一元回歸模型，輔助回歸模型中無交叉項，應選No Cross terms。執行之后得輔助回歸模型的估計結果見表3：
　　
　　
　　取顯著水平α=0.05，由于nR2＝16.02746＞x20.05（2）＝5.99，所以可以模型①認為存在異方差性。
　　（三）異方差的修正
　　當通過檢驗，探明模型中存在異方差后，要設法消除其影響，將異方差模型轉化為同方差模型，對其作OLS估計后，再變換回原模型。常用的方法有加權最小二乘法（WLS）、模型變換法等。
　　1、WLS估計法
　　加權最小二乘法是對原模型加權，使之變成一個新的不存在異方差的模型，然后采用普通最小二乘法估計其參數．以一元線性回歸模型yt＝b0+b1xt+ut為例，如果在檢驗過程中已經知道var（ut）=E（ut）2＝δt2＝δ2f（xt）即隨機誤差項的方差與解釋變量xt之間存在相關性，那么可以用 去除原模型，使之變成如下形式的新模型 = +b1 + 。在該模型中，存在var（ ）=E（ ）2＝ δt2=δ2即同方差性。于是可以用普通最小二乘法估計其參數，得到關于參數b0、b1是無偏的、有效的估計量。這就是加權最小二乘法，在這里權就是 。該例EVIEWS軟件操作如下：在OLS對話框中輸入“ycx”，回車，然后單擊方程窗口中Estimate/Options，并在權數對話框中輸入權數，上例權數為1/x2，單擊“OK”，得WLS的回歸結果如下：
　　 t=265.4487+0.044342xt②
　　（7.291038）（10.44355）
　　R2＝0.974542
　　為了分析異方差的修正情況，還需要對模型②進行White檢驗，以判斷模型是否存在異方差性，在方程窗口中單擊View/Residual Test/White Heteroskedasticity。結果如表4所示：
　　
　　取顯著水平α=0.05，由于nR2=1.467261＜x20.05（2）＝5.99，所以可以認為模型②已不存在異方差性。
　　2、對數變換法
　　在一元回歸模型yt=b0+b1xt+ut中，變量yt，xt，分別用lnyt，lnxt，取代，對lnyt=b0 +b1lnxt+ut進行回歸，通常可以降低異方差性的影響。原因是：對數變換能使測定變量值的尺度縮小；經過對數變換后的線性模型，其殘差et表示為相對誤差，而相對誤差往往具有較小的誤差。該例EVIEWS軟件操作為：
　　先用GENR生成lnx和lny序列，然后用OLS方法求lny對lnx的回歸。即輸入以下命令：
　　GENR lnx=log（x）
　　GENR lny=log（y）
　　LSlnyclnx 回車，即得結果如下：
　　ln t＝1.418438+0.558324lnxt③
　　（4.314453）（15.57151）
　　R2＝0.893175S.E.＝0.049437
　　再次利用White檢驗判斷以上模型③是否存在異方差性，在方程窗口中單擊View/Residual Test/White Heteroskedasticity，結果如表5所示：
　　
　　由于nR2=5.895475＜x20.05（2）=5.99，所以模型③已不存在異方差性。
　　經過修正后不存在異方差性的模型能更好地對年人均家庭可支配收入和人均交通和通訊支出關系進行討論、預測、政策評價。
　　
　　參考文獻：
　　1、易丹輝.數據分析與EVIEWS應用[M].中國統計