解讀三角形中的高考試題

甘肅高臺第一中學734300

摘要：本文主要研究了以三角形為背景，以三角函數中的諸多公式和三角函數的性質為載體，以整體代入，邊角互化，角與角間的轉化、消元、降次等思想方法為依托，以考查學生應用所學的知識分析問題和解決分題的能力為主線來命制解斜三角形的相關高考試題，并對相關試題進行了點評.

關鍵詞：三角形中的三角函數；正余弦定理；思想方法及應用

以三角形為背景，以三角函數中的諸多公式和性質為載體，以整體代入、邊與角互化、角與角間的轉化、消元、降次等思想方法為依托，以考查學生應用所學的知識分析問題和解決問題的能力為主線來命制與解斜三角形相關的試題已經成為近幾年高考命制三角題的主流. 下面就舉例說明這一部分內容的考題方向：

1. 考查三角形內角和定理A+B+C=π及誘導公式的熟練應用

例1（2005湖南）已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A，B，C的大小.

解析在△ABC中，sinC＝sin（A＋B），所以由sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，得sinAsinB＋sinAcosB－sin（A＋B）＝0. 即sinAsinB＋sinAcosB－sinAcosB－cosAsinB＝0. 即sinB（sinA－cosA）＝0.

因為B∈（0，π），所以sinB≠0，從而cosA＝sinA. 由A∈（0，π），知A＝. 從而B＋C＝π. C＝π－B，又因為sinB＋cos2C＝0. 即sinB＋cos2

π－B＝0，sinB＋cos

π－2B＝0. 即sinB－sin2B＝0，sinB－2sinBcosB＝0，由此得cosB＝，B＝，從而C＝π－

＋

＝. 故A＝，B＝，C＝.

例2（2008江西）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，tan＋tan＝4，a＝2，sinBsinC＝cos2，求A，B及b，c.

解析因為在△ABC中，cot＝tan，所以由tan＋tan＝4得cot＋tan＝4，即＋＝4，所以sinC＝，又C∈（0，π），所以C＝，或C＝，又因為sinBsinC＝cos2，由降冪公式cos2＝，又因為在△ABC中，cosA＝－cos（B＋C），所以sinBsinC＝，2sinBsinC＝1－cos（B＋C）整理得cos（B－C）＝1，所以B＝C＝，故A＝π－（B＋C）＝. （b，c的值略）.

點評上兩例都是考查靈活應用表中所列公式和三角函數中的相關公式來解題，只要平時善于積累，總結出三角形中的幾個關鍵“題眼”，就能迅速入手突破.

２. 考查正弦定理的靈活應用

2.1已知三角形中的一組對邊與對角求其它的邊或角用正弦定理＝＝＝2R.

例3（2007福建）已知在△ABC中，tanA＝，tanB＝.

（1）求角C的大??；

（2）若AB邊的長為，求BC邊的長.

解析（1）在△ABC中，tanC＝－tan（A＋B）＝－＝－1，所以C＝π.

（2）由（1）知C＝π是鈍角，故A∈0，

，又tanA

＝

＝，

sin2A＋cos2A＝1，解得sinA＝. 由正弦定理＝，所以BC＝AB·＝.

2.2由正弦定理得

變式1a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.

變式2sinA＝，sinB＝，sinC＝以及＝等，利用這些變式可將邊、角關系進行互化解題.

例4（2007江蘇）在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC頂點A（－4，0）和C（4，0），頂點B在橢圓＋＝1上，則＝________.

解析由橢圓第一定義得AB＋BC＝2×5＝10，AC＝8，由變式2得sinA＝，sinC＝，sinB＝，故＝.

點評所求的是角的正弦值的比，由上面的變式2可轉化為邊的比值.

例5（2008山東）已知△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，向量m＝（，－1），n＝（cosA，sinA），若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，則B＝＿＿＿＿＿.

解析：因為m⊥n，所以m·n＝0，即cosA－sinA＝0，得tanA＝，A＝，又因為acosB＋bcosA＝csinC，而a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，所以sinAcosB＋sinBcosA＝sinC·sinC，即sin（A＋B）＝sin2C，即sinC＝sin2C，因為C∈（0，π），所以 sinC≠0，故sinC＝1，C＝，所以B＝.

點評題設條件acosB＋bcosA＝csinC是邊與角混合在一起的，而求的是角的值，因此想到由變式1將邊化為角之間的關系.

３. 考查余弦定理的靈活應用

3.1已知三角形中的兩邊及其夾角的關系求第三邊用余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc·cosA，b2＝a2＋c2－2ac·cosB，c2＝a2＋b2－2ab·cosC.

例6（2008重慶）設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A＝60°，c＝3b，求：

（1）的值；

（2）cotB＋cotC的值.

解析（1）由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc·cosA＝a2＝

c＋c2－2·c·cos60°＝c2，故＝，＝.

點評本題已知的是邊b，c間的關系及其夾角A，自然想到用余弦定理.

3.2由余弦定理得變式cosA＝，cosB＝，cosC＝可由三邊或三邊間的關系求角或者將邊、角的關系進行互化.

例7如上例中的（2）.

解析由余弦定理的變式及（1）的結論有cosB＝＝，故sinB＝＝＝.同理可得cosC＝＝＝ －，sinC＝＝＝. 從而cotB＋cotC＝＋＝－＝.

例8（2008福建）設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若（a2＋c2－b2）·tanB＝ac，則角B的值為（）

A. B. C. 或 D. 或

解析由（a2＋c2－b2）tanB＝ac變形得·tanB＝cosB·tanB＝sinB＝，又0＜B＜π，所以B的值為或，選D.

點評通過對條件的等價變形將邊轉化為角的關系較易獲解.

４. 考查面積公式的靈活應用

任意△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則三角形的面積公式S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB. 對此公式的考查體現在兩個方面.

一根據公式求三角形的面積；二是面積公式的逆向應用（已知面積求邊或角）.

例9（2008遼寧）在△ABC中，內角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知c＝2，C＝．

（1）若△ABC的面積等于，求a，b；

（2）若sinC＋sin（B－A）＝2sin2A，求△ABC的面積．

解析（1）由余弦定理及已知條件得，a2＋b2－ab＝4，又因為△ABC的面積等于，所以absinC＝，得ab＝4． 聯立方程組a2＋b2－ab＝4，

ab＝4， 解得a＝2，b＝2．

（2）因為在△ABC中，sinC＝sin（A＋B），由題意得sin（B＋A）＋sin（B－A）＝4sinAcosA，整理為sinBcosA＝2sinAcosA，當cosA＝0時，A＝，B＝，a＝，b＝，此時Rt△ABC的面積S＝·cb＝×2×＝． 當cosA≠0時，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，聯立方程組a2＋b2－ab＝4，

b＝2a，解得a＝，b＝． 此時△ABC的面積S＝absinC＝．故S△ABC=.

由上可見，解斜三角，不僅囊括了眾多的三角函數中的公式，而且融入了豐富的數學思想方法和三角形中的一些基礎知識，其解法多樣，靈活多變，最能有效地檢測出考生理性思維的廣度和深度以及進一步學習的潛能，因而受到了命題人的青睞，當然也更應該引起我們的重視.