構(gòu)造多種模型證明一道競賽題

摘要：本文對一道高中競賽題，有意識地選擇數(shù)學(xué)工具解決數(shù)學(xué)問題，充分體現(xiàn)了解題技巧的使用方法，即創(chuàng)造條件應(yīng)用自己擅長的數(shù)學(xué)方法.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；輔助元；期望；向量

問題設(shè)a，b，c∈R＋，且abc＝1，證明：＋＋≥.

這道題是第26屆IMO競賽題，很多資料上對此都有介紹，從不同的角度來思考可以得到不同的證法.

１. 構(gòu)造函數(shù)模型

由函數(shù)的單調(diào)性定義易知，若函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間D上單調(diào)遞增，則對任意x1，x2∈D時，有［f（x1）－f（x2）］（x1－x2）≥0. 利用這個結(jié)論能夠方便地證明一些具有對稱性的不等式.

證明（利用函數(shù)的單調(diào)性）此不等式對稱性結(jié)構(gòu)不強，由此作下列變換＝＝，

故原不等式等價于＋＋≥.

令s＝ab＋bc＋ac，g（x）＝，

那么g（x）在［0，2］上單調(diào)遞增，

≥（ab＋bc＋ac）2≥［3（）］2＝.

故原不等式成立.

點評函數(shù)的單調(diào)性是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，恰當?shù)貥?gòu)造一個函數(shù)并巧妙地利用它的性質(zhì)，可以證明一些不等式，也有助于更好地掌握函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用.

２. 構(gòu)造輔助元

對結(jié)構(gòu)不好把握，或較為復(fù)雜，變量關(guān)系不甚明了的式子，可適當引入新的輔助變量，通過代換，實現(xiàn)某種變通，能給解題帶來新的轉(zhuǎn)機.

證明（利用換元法）原不等式等價于＋＋≥，

即＋＋≥，

因此只要設(shè)s＝a－1＋b－1＋c－1，x＝s－a－1，y＝s－b－1，z＝s－c－1，

則x＋y＋z＝2s，從而原不等式轉(zhuǎn)化為要證＋＋≥，

即只要證（x＋y＋x）（x－1＋y－1＋z－1）s－8s≥3，

而此式左邊≥［3（）·3（）］s－8s＝s，

又注意到abc＝1，s＝a－1＋b－1＋c－1≥3·（）＝3，

故原不等式成立.

點評經(jīng)過換元轉(zhuǎn)化后，簡化了證明過程，而且有助于窺探命題者構(gòu)建此題的來龍去脈，提高解題者的宏觀解題能力.

３. 構(gòu)造概率模型

我們知道，若離散型隨機變量ξ的分布列為P（ξ＝xi）＝pi，i＝1，2，…，n，其中pi＝1，則Eξ2≥（Eξ）2. 當且僅當x1＝x2＝…＝xn＝Eξ時取“＝”. 因此，我們可以設(shè)想通過構(gòu)造隨機變量的概率分布列來證明這個不等式.

證明原不等式等價于＋＋≥.

設(shè)ab＋ac＋bc＝s，則s≥3（）＝3.

又設(shè)x1＝ab，x2＝bc，x3＝ac，Ai＝，Bi＝（i＝1，2，3），

隨機變量ξ的分布列為P（ξ＝Ai）＝Bi，（i＝1，2，3），

則Eξ＝AiBi＝，Eξ2＝，

因為Eξ2≥（Eξ）2，

所以≥，≥≥. 原不等式得證.

點評概率統(tǒng)計知識是新教材增加的內(nèi)容，目前有關(guān)構(gòu)造概率模型解題的研究很少，構(gòu)造概率模型解題，關(guān)鍵在于尋找到恰當?shù)母怕誓Ｐ停坏┻\用成功，往往給人耳目一新的感覺. 運用它解題有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性和創(chuàng)造性.

４. 構(gòu)造向量模型

證明原不等式等價于＋＋≥.

構(gòu)造向量m＝（，，），

所以＋＋≥=≥=.

點評構(gòu)造向量的重點和難點是根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點，構(gòu)造兩個恰當?shù)南蛄? 一旦運用成功，常常表現(xiàn)出簡捷、明快、精巧、新穎等特點，給人舉重若輕的感覺. 該方法具有很強的創(chuàng)造性，由于向量本身是一個數(shù)形結(jié)合體，它為我們解決數(shù)學(xué)問題提供了廣闊的思維天地. 因此向量具有獨特的教學(xué)價值.

以上是從四個不同的角度來思考一道不等式問題，函數(shù)法和換元法一直是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容和思想方法，概率和向量是新課程中增加的內(nèi)容，這在一定程度上拓寬了解題思路，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維大有裨益. 我們要在繼承傳統(tǒng)中創(chuàng)新，這也正是新課程的一個重要理念.