一道高考試題的探源及解法研究

江蘇淮安中學223200

摘要：本文將探尋2008年高考江蘇卷的第17題的源頭并給出分別選用（1）中的兩個函數(shù)關系后的一些解法（不同于參考答案），供參考.

關鍵詞：函數(shù)；求解；最短

題目:如圖1，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個頂點A、B及CD的中點P處，AB=20 km，BC=10 km. 為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上（含邊界），且與A、B等距離的一點O處，建造一個污水處理廠，并鋪設三條排污管道AO、BO、PO. 設排污管道的總長度為y km .

[D][A][O][P][C][B]

圖1

（1）按下列要求建立函數(shù)關系：

①設∠BAO＝θ（rad），將y表示為θ的函數(shù)；

②設PO＝x（km），將y表示為x的函數(shù).

（2）請你選用（1）中的一個函數(shù)關系，確定污水處理廠的位置，使鋪設的排污管道的總長度最短.

1. 試題探源

如圖2，延長PO交AB于點Q，將圖2進行演變得圖3，再演變圖3得圖4.

[D][C][A][B][P][O][Q][P][O][Q][C][B]

圖2 圖3

[Q][O][P][B]

圖4

至此，我們可以發(fā)現(xiàn)這道題源于蘇教版數(shù)學選修1-1的P88第8題. 如圖5，已知海島A與海岸公路BC的距離AB為50 km，B，C間的距離為100 km. 從A到C，先乘船，船速為25 km／h，再乘汽車，車速為50 km／h，登陸點應選在何處，所用時間最少？

[B][A][C]

圖5

2. 解法研究

不難得到（1）中的兩個函數(shù)關系為：

①y＝－10tanθ＋10（0≤θ≤）；

②y＝x＋2（0≤x≤10）.

若選用y＝－10tanθ＋10（0≤θ≤），則有y＝10＋10（0≤θ≤）.

令t＝（0≤θ≤），有如下解法.

解法1由t＝得sinθ＋tcosθ＝2.

引進輔助角φ后得sin（θ＋φ）＝2，即sin（θ＋φ）＝.

因為｜sin（θ＋φ）｜≤1，所以

≤1，

解得t≥或t≤－（舍去）.

經(jīng)驗證，當sinθ＝，cosθ＝時，tmin＝，ymin＝10＋10.

此時，AO＝BO＝（km）. 故當污水處理廠建在矩形區(qū)域內(nèi)且到A，B兩點的距離均為 km時，鋪設的排污管道的總長度最短.

解法2 注意到t＝是分式結構的，可以聯(lián)想其幾何意義為M（－cosθ，sinθ），N（0，2）兩點所在直線的斜率. 因為0≤θ≤，所以－1≤－cosθ≤－，0≤sinθ≤，如圖6，當直線MN與圓弧相切時斜率最小. 設直線MN的方程為y＝tx＋2，由＝1得t＝或t＝－（舍去），經(jīng)檢驗當sinθ＝，cosθ＝時，t＝. 此時，可得AO＝BO＝（km），即當污水處理廠建在矩形區(qū)域內(nèi)且到A，B兩點的距離均為 km時，鋪設的排污管道的總長度最短.

[N][M][x][y][-1][-][][O][2]

圖6

解法3設tan＝u，則sinθ＝，cosθ＝，

代入到t＝，整理得t＝，可化為關于u的方程（t＋2）u2－2u＋2－t＝0.

因為t＞0，由Δ≥0，解得t≥.

經(jīng)檢驗當sinθ＝，cosθ＝時，tmin＝.

此時，可得AO＝BO＝（km），即當污水處理廠建在矩形區(qū)域內(nèi)且到A，B兩點的距離均為 km時，鋪設的排污管道的總長度最短.

若選用y＝x＋2（0≤x≤10），則有如下解法.

解法4 由y＝x＋2，得3x2＋（2y－80）x＋800－y2＝0.

由Δ≥0，得（2y－80）2－12（800－y2）≥0，

解之得y≥10＋10或y≤10－10（舍去）.

經(jīng)驗證當x＝10－時，ymin＝10＋10.

故當PO＝

10－ km時，鋪設的排污管道的總長度最短.

解法5 由y＝x＋2，得y－x＝2.

令m＝y(tǒng)－x，m＝2（0≤x≤10）.

由m＝2（0≤x≤10），

得－＝1（0≤x≤10）.

如圖7，作出直線m＝y(tǒng)－x及曲線－＝1（0≤x≤10），當直線m＝y(tǒng)－x與曲線－＝1（0≤x≤10）相切時，直線m＝y(tǒng)－x在m軸上的截距y最小. 由y－x＝2得3x2＋（2y－80）x＋800－y2＝0.

由Δ＝0得y＝10＋10或y＝10－10（舍去）. 經(jīng)檢驗當x＝10－時，ymin＝10＋10. 故當PO＝

10－ km時，鋪設的排污管道的總長度最短.

[m][x][m=y-x][10][O]

圖7

解法6 由y＝x＋2，得＝＋.

如圖8，設點M（x，0），G（10，10），直線l的方程為x＋m＝0.

過點M作MN⊥l于N，則MN＝，MG＝，＝MN＋MG.過G作GH⊥l于H，則MN＋MG≥GH，所以≥GH＝＝5＋5，即y≥10＋10（當且僅當M為GH與x軸的交點時取等號）. 而直線GH的方程為m－10＝（x－10），令m＝0，得x＝10－. 故當PO＝

10－ km時，鋪設的排污管道的總長度最短.

[M][x][m][G][O][H][N][l]

圖8

問泉哪得清如許，為有源頭活水來.將課本題進行改編或以課本題為背景命制一些高考題已絕非偶然之舉，從很多地區(qū)的高考試題中都能探尋到課本題的影子和足跡. 如何利用課本題這一鮮活資源進行有效教學很值得研究. 其實，在教學過程中，不妨通過一題多變、一題多練、一題多解等做法，讓學生領悟數(shù)學的本質，達到觸類旁通，舉一反三的效果，使學生的知識與技能得以鞏固和提高. 我們堅信，將課本題講好、變好、解好、練好就是一件不簡單的事.