一道橢圓競賽題的探究

重慶合川太和中學(xué)401500

摘要：對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行推廣以及逆向思考是探究數(shù)學(xué)問題的兩種重要手段，運用該手段可以使我們更加深入、全面地認(rèn)識問題，提高探究者對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)知水平.

關(guān)鍵詞：競賽題；推廣；逆向思考

2008年湖南省高中數(shù)學(xué)競賽（A卷）第18題.

過直線l：5x－7y－70=0上的點P作橢圓+=1的切線PM，PN，切點分別為M，N，連接MN.

（1）當(dāng)點P在直線l上運動時，證明：直線MN恒過定點.

（2）當(dāng)MN∥l時，定點Q平分線段MN.

1. 賽題的推廣

筆者將其拓展到到圓錐曲線中進(jìn)行探究，發(fā)現(xiàn)仍有類似的結(jié)論成立.

命題1 過直線l：y=mx+n（mn≠0）上的點P作橢圓+=1（a>b>0）的切線PM，PN，切點分別為M，N，連接MN.

（1）當(dāng)點P在直線l上且在橢圓外運動時，直線MN恒過定點Q-

（2）若直線l與橢圓不相交，則當(dāng)MN∥l時，定點Q平分線段MN.

命題2 過直線l：y=mx+n（mn≠0）上的點P作雙曲線－=1（x>0）的切線PM，PN，切點分別為M，N，連接MN.

（1）當(dāng)點P在直線l上且在雙曲線外運動時，直線MN恒過定點Q-

（2）若直線l與雙曲線不相交，則當(dāng)MN∥l時，定點Q平分線段MN.

命題3 過直線l：y=mx+n（mn≠0）的點P作拋物線y2=2px（p>0）的切線PM，PN，切點分別為M，N，連接MN.

（1）當(dāng)點P在直線l上且在拋物線外運動時，直線MN恒過定點Q-

（2）若直線l與拋物線不相交，則當(dāng)MN∥l時，定點Q平分線段MN.

下面僅以橢圓為例進(jìn)行證明命題1，其余兩個命題請讀者完成.

引理 若x能取到至少兩個不同的實數(shù)滿足等式ax=b，則a=0，b=0.

命題1的證明 設(shè)P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），則切線PM，PN的方程為+=1，+=1，顯然切線PM，PN均過點P（x0，y0），則+=1，+=1. 因此直線MN的方程為+=1，①

（1）將y0=mx0+n代入①式并整理為

顯然x0至少可以取兩個不同的值滿足式②，所以由引理知

（2）由MN∥l易得直線MN解析式為y=mx

=1，利用點差法即可得=－·=－，③

再將y1=mx1

++，y2=m·x2

++代入③式得=－，進(jìn)而可得=，因此線段MN的中點與Q-

，

重合，所以定點Q平分線段MN.

2. 推廣的逆向思考

上述三個命題描述了從定直線到定點的數(shù)學(xué)事實，那么我們是不是也可以逆向思考從定點到定直線的情形呢？

命題4 設(shè)直線l與橢圓+=1（a>b>0）交于點M，N，過點M，N作橢圓的切線交于點P，則當(dāng)直線l恒過定點Q（x0，y0）時，點P必在定直線+=1上.

命題5設(shè)直線l與雙曲線-=1（x>0）交于點M，N，過點M，N作雙曲線的切線交于點P，則當(dāng)直線l恒過定點Q（x0，y0）時，點P必在定直線-=1上.

命題6 設(shè)直線l與拋物線y2=2px（p>0）交于點M，N，過點M，N作拋物線的切線交于點P，則當(dāng)直線l恒過定點Q（x0，y0）時，點P必在定直線yy0=p（x+x0）上.