對一道高考題的探究

湖南常德第六中學415100

摘要：2008年全國高考福建卷（文科卷）的第22題是一道有關橢圓的題. 本文通過對該題的探究，得到了橢圓的一個性質. 對于該性質，拋物線和雙曲線也有類似的性質.

關鍵字：性質；焦點；軌跡

2008年全國高考福建卷（文科卷）第22題.

如圖1，橢圓C：+=1（a>b>0）的一個焦點為F（1，0）且過點（2，0）.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動弦，直線l：x=4與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M.

（1）求證：點M恒在橢圓C上；

（2）求△AMN面積的最大值.

[M][B][F][O][N][x][t][y][A]

圖1

筆者通過對其探究，得到橢圓的一系列性質.

性質1如圖2，設AB為橢圓C:+=1（a>b>0）垂直于x軸的動弦，相應于定點F（m，0）（m定直線l：x=與x軸交于點N，AF與BN交于點M，則點M恒在橢圓C上.

證明 設A（x0，y0），則B（x0，－y0）（y0≠0），且

+=1.①

AF與BN的方程分別為

當x≠時，由②③可得

x0=，y0=，④

將④代入①，整理得b2（a2－m2）2x2+a2·（a2－m2）2y2=a2b2（a2－m2）2，

注意到a2－m2≠0，于是得+=1（y≠0）.

當x=時，由②③可得y=0，y0=0與y0≠0矛盾.

所以點M的軌跡方程為+=1（y≠0），即點M恒在橢圓C上.

對于雙曲線與拋物線也有類似的性質.

性質2如圖3，設AB為雙曲線C：-=1（a>0，b>0）垂直于x軸的動弦，相應于定點F（m，0）（m>a）的定直線l：x=與x軸交于點N，AF與BN交于點M，則點M恒在雙曲線C上.

[M][F][B][x][N][A][y][O]

圖3

性質3如圖4，設AB為拋物線C：y2=2px（p>0）垂直于x軸的動弦，相應于定點F（m，0）（m>0）的定直線l：x=－m與x軸交于點N，AF與BN交于點M，則點M恒在拋物線C上.

性質2、性質3類似于性質1可證，此處從略.