不是沒道理 而是活用反比

案例回放:

前不久，筆者聽了五年級一位教師執(zhí)教“小數(shù)的連除”一課，例題是一道應(yīng)用題：“一只蜜蜂0.5小時(shí)飛行9.3千米，是一只蝴蝶飛行速度的2.4倍。這只蝴蝶每小時(shí)飛行多少千米?”這位教師讓學(xué)生獨(dú)立列式，匯報(bào)時(shí)說明列式的理由。縱觀學(xué)生的列式，絕大多數(shù)學(xué)生都是應(yīng)用常規(guī)的思路列式，即9.3÷0.5÷2.4，先求蜜蜂每小時(shí)飛行的速度，再求蝴蝶每小時(shí)飛行的速度。其中有一位學(xué)生是這樣列式的：9.3÷2.4÷0.5。這位教師讓學(xué)生說說9.3÷2.4表示什么意思，學(xué)生吞吞吐吐說不出來，教師趁機(jī)說：“9.3÷2.4表示的意思講不通，沒道理。”然后便以不能這樣列式為由，把這道算式擱置一旁，繼續(xù)下面的教學(xué)。

策略分析：

這位學(xué)生的列式(9.3÷2.4÷0.5)，真的沒道理嗎?當(dāng)然不是。根據(jù)“蜜蜂的速度是蝴蝶的2.4倍”，我們知道在路程9.3千米一定的情況下，蝴蝶飛行的時(shí)間是蜜蜂的2.4倍。因此，9.3÷2.4表示0.5小時(shí)蝴蝶飛行的路程，再除以0.5表示蝴蝶每小時(shí)飛行的千米數(shù)。

多妙的想法!其實(shí)，這種解法正是應(yīng)用了“路程一定，速度和時(shí)間成反比”這個(gè)關(guān)系，難怪學(xué)生說不出這個(gè)道理，而對于一個(gè)任教高段的數(shù)學(xué)教師也說不出這個(gè)道理，能說得過去嗎?就反比關(guān)系而言，在解決相應(yīng)問題時(shí)，靈活應(yīng)用這個(gè)關(guān)系往往能給解題帶來意想不到的便捷、精彩。

策略應(yīng)用：

下面僅舉數(shù)例剖析如下：

例1 一艘輪船所帶的柴油最多可以用6小時(shí)，駛出時(shí)順風(fēng)，每小時(shí)行駛30千米；駛回時(shí)逆風(fēng)，每小時(shí)行駛的路程是順風(fēng)時(shí)的4/5。這艘輪船最多駛出多遠(yuǎn)就應(yīng)往回駛了?

分析與解：從題意可知，這艘輪船去時(shí)與返回時(shí)行駛的路程相等，其所用的時(shí)間和速度成反比。根據(jù)這一關(guān)系，把“這艘輪船駛回時(shí)逆風(fēng)，每小時(shí)行駛的路程是順風(fēng)的4/5”這一條件轉(zhuǎn)化成“這艘輪船逆風(fēng)返回時(shí)，行駛的時(shí)間是去時(shí)順風(fēng)所用時(shí)間的5/4”。由此求出這艘輪船順風(fēng)的時(shí)間是6÷(1+5/4)=8/3(小時(shí))，所以這艘輪船最多駛出30×8/3=80(千米)就應(yīng)往回駛了。

例2 張山從甲地到乙地，去時(shí)小跑每小時(shí)行8千米，返回時(shí)中跑每小時(shí)行9千米，來回共用了3.4小時(shí)，甲、乙兩地相距多少千米?

分析與解：張山從甲地到乙地，又從乙地返回到甲地，去、回路程不變；又知去時(shí)與返回時(shí)的速度比是8∶9，那么去時(shí)和返回時(shí)所用的時(shí)間比就是9∶8。由此求出張山去時(shí)的時(shí)間是3.4×9/(9+8)=1.8(小時(shí))，所以甲、乙兩地相距1.8×8=14.4(千米)。

例3 李明從學(xué)校騎自行車出發(fā)，到縣城花了1小時(shí)20分，回學(xué)校時(shí)沿原路返回，速度比去時(shí)快了1/3。問李明從縣城回到學(xué)校用了多少小時(shí)?

分析與解：把“李明回學(xué)校時(shí)沿原路返回，速度比去時(shí)快了1/3”這個(gè)“比字句式”轉(zhuǎn)化為“是字句式”，即“李明回學(xué)校時(shí)的速度是去時(shí)速度的4/3”。根據(jù)“路程一定，速度和時(shí)間成反比”這一關(guān)系，再把這個(gè)條件轉(zhuǎn)化成“李明回學(xué)校的時(shí)間是去時(shí)時(shí)間的3/4”，所以李明從縣城回到學(xué)校用了4/3×3/4=1(小時(shí))。

例4 一支工程隊(duì)鋪一段鐵路，原計(jì)劃每天鋪3.2千米，實(shí)際每天鋪路的千米數(shù)是原計(jì)劃每天鋪路的5/4，實(shí)際鋪完這段路用了12天。原計(jì)劃用了多少天才能鋪完?

分析與解：一段鐵路的總長一定，鋪路的工作效率與工作時(shí)間成反比，根據(jù)這一關(guān)系，把“實(shí)際每天鋪路的千米數(shù)是原計(jì)劃每天鋪路的5/4”這一條件轉(zhuǎn)化為“實(shí)際鋪路的時(shí)間是原計(jì)劃鋪路時(shí)間的4/5”，所以原計(jì)劃用了12÷4/5=15(天)才能鋪完。

反思：

這個(gè)教學(xué)案例，至少給我們兩點(diǎn)思考：

一、要做好充分預(yù)設(shè)

案例中的教師正是由于教學(xué)預(yù)設(shè)不充分，造成在教學(xué)過程中對學(xué)生的“創(chuàng)新性解法”不敏感，表現(xiàn)為教師在客觀上聽不懂學(xué)生的“發(fā)現(xiàn)”，在主觀上也不愿聽學(xué)生的“發(fā)現(xiàn)”。因此，筆者認(rèn)為，備課時(shí)必須從學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，從學(xué)生的角度思考他們對問題會(huì)存在怎樣的想法，會(huì)提出什么樣的問題，會(huì)給出什么樣的答案，針對學(xué)生的問題教師應(yīng)該做出怎樣的處理。如本例中，課前教師要思考：對于這道應(yīng)用題，學(xué)生可能有幾種列式？每個(gè)算式的意義是什么?只有課前胸有成竹，課上才會(huì)游刃有余，才會(huì)對學(xué)生的想法做出客觀的評價(jià)，保護(hù)學(xué)生有意義的、有價(jià)值的想法。

二、要學(xué)會(huì)延遲評價(jià)

延遲評價(jià)指教師對學(xué)生在分析、解決問題時(shí)所萌發(fā)的一些新的、與眾不同的想法，哪怕是奇談怪論，也不能匆忙地做出定論，而是耐心地等待學(xué)生做出進(jìn)一步思考，再適當(dāng)?shù)攸c(diǎn)撥、鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)地去完善自己的想法。本例中，當(dāng)學(xué)生無法說出9.3÷2.4表示的意義時(shí)，教師要學(xué)會(huì)采取延遲評價(jià)，把問題重新拋給學(xué)生“哪個(gè)同學(xué)能幫忙這個(gè)同學(xué)說說9.3÷2.4表示的意義”，給教師自己也留下了思考的空間，說不定在學(xué)生的回答過程中，教師自己也悟過來了。這樣，既保護(hù)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，給學(xué)生提供創(chuàng)造成功的機(jī)會(huì)，又化解了一場尷尬，何樂而不為!