基金凈值預測的灰色——馬爾可夫鏈模型

摘要：本文吸取灰色預測方法和馬爾可夫預測方法的優點，將兩種方法結合起來，建立灰色-馬爾可夫預測模型，并選取廣發穩健增長一段時期內的基金凈值數據作為樣本進行預測分析。研究發現，利用灰色—馬爾可夫預測模型預測基金凈值具有較高的預測精度。

關鍵詞：基金凈值預測；灰色GM（1，1）模型；馬爾可夫鏈

一、引言

近年來隨著我國證券市場的快速發展，證券投資基金受到了越來越多投資者的關注。基金凈值是廣大投資者能夠最為直接接觸到的有關基金運作情況的數據，合理預測基金凈值對于廣大投資者做出科學合理的投資決策具有重要意義。但是基金凈值的變動受多種因素的影響，如大盤指數波動、國家政策調控、基金經理的投資能力以及其他的不確定因素等等，其對基金凈值的影響機理各不相同。可以將基金凈值的變動過程看作一個灰色系統，利用系統中少量的已知信息來生成、開發、提取有價值的信息，實現對系統運行行為、演化規律的正確描述和有效監控，從而達到對未來事物進行準確預測的目的。

灰色系統模型已經被廣泛用于時間序列數據的擬合與預測。冉茂盛等（1997）用灰色模型方法預測我國物價變動趨勢；陳海明、段進東（2002）運用灰色馬爾可夫模型來預測股票價格；楊楠等（2006）用灰色馬爾可夫模型預測房價指數。灰色預測理論的GM（1，1）模型所描述的灰色量，其白化微分方程解為指數型曲線，主要適應于時間短、數據少、波動小、具有長期趨勢的預測對象，馬爾可夫理論根據狀態之間的轉移概率來預測系統未來的發展，適合于隨機波動性較大的預測問題。本文基于灰色系統預測和馬爾可夫預測的特點，將兩種預測方法結合，利用GM（1，1）模型來揭示經濟現象長期發展變化的趨勢，利用馬爾可夫預測模型來確定現象狀態之間的轉移，建立灰色-馬爾可夫預測模型，對基金凈值走勢進行預測。

二、灰色GM(1，1)-馬爾可夫模型預測過程

（一）GM（1，1）模型

設原始序列為X（0）={x（0）（1），x(0)(2)，……，x(0)(n-1)，x(0)(n)}，首先對X(0)作一次累加生成，得到新數列：X(1)={X(1)(1)，x(1)(2)，……，x(1)(n-1)，x(1)(n)}，

詳細的，有x(1)(1)=x(0)(1)x(1)(k)=x(0)(k)+x(1)(k-1)，k=2，3，…，n。一次累加生成序列{x(1)(k)|=1，2，3，……n}的規律可以通過求解一階線性微分方程：dX(1)dt+aX(1)=u的解得到，a為發展灰數，u稱內生控制數。

設為待估參數向量，=au，利用最小二乘法求解可得=(BTB)-1BTyn，通過上式可得a和u。

其中，B=-12(x(1)(1)+x(1)(2))1

-12(x(1)(2)+x(1)(3))1

-12(x(1)(n-1)+x(1)(n))1，yn=[x(0)(2)，x(0)(3)……，x(0)(n)]T。

得到GM（1，1）模型：(1)(k+1)=[x(0)(1)-ua]e-ai+ua。

其中k=0，1，2，……，n。可以利用GM（1，1）模型對X(1)做出預測，并由累減生成得到原始數據數列X(0)的模擬序列值，并令(t)=(0)(k+1)即：

(0)(k+1)=(1)(k+1)-(1)(k)，(0)(1)=(1)(1)，（k=1，2，……，n），

（二）GM（1，1）模型檢驗

灰色預測模型的檢驗方法有殘差檢驗、關聯度檢驗和后驗差檢驗法。

1.殘差檢驗

殘差檢驗有兩種：絕對誤差和相對誤差檢驗。

絕對誤差：ε(0)(k)=x(0)(k)-(k)；相對誤差：Ω(0)(k)=ε(0)(k)x(0)(k)×100%，式中，(0)(k)=(1)(k)-(1)(k-1)，(0)(1)=(1)(1)，（k=2，3，……，n）。

2.關聯度檢驗

關聯系數定義為：ξ(k)=min(Δ(k))+ρmax(Δ(k))Δ(k)+ρmax(Δ(k))，式中，ξ(k)為第k個數據的關聯系數；ρ為取定的最大差百分比，一般取ρ=0.5；Δ(k)=|(0)(k)-x(0)(k)|，最后計算關聯度ξ，關聯度ξ定義為：ξ=1n-1∑nk=1ξ(k)。

3.后驗差檢驗

首先計算原始數列x(0)的均方差s0，s0定義為：

s0=s02n-1，s02=∑nk=1[x(0)(k)-x(0)]2，x(0)=1n∑nk=1x(0)(k)；

計算殘差數列ε(0)的均方差s1，s1定義為：

s1=s12n-1，s12=∑nk=1[ε(0)(k)-ε(0)]2，ε(0)=1n∑nk=1ε(0)(k)；

由此計算方差比：c=s1/s0；最后計算小誤差概率p：p={|ε(0)-ε(0)|＜0.6745s0}。

（三）馬爾可夫狀態轉移概率矩陣

將符合n階馬爾可夫非平穩的隨機序列劃分為m個狀態，狀態區間為Ei∈[E1i，E2i]，其中E1i=(t)+Ai，E2i=(t)+Bi，Ai=ai，Bi=bi，為原始數據的均值。狀態劃分數目m和常數ai，bi的確定，可以依據研究對象的實際意義、樣本數據的多少選取。狀態劃分好后，就可以利用m步狀態轉移概率的計算公式p(m)i，j=m(m)i，jmi（式中p(m)i，j、m(m)i，j分別為狀態Ei經m步轉移到狀態Ej的概率和次數，mi為狀態Ei出現的次數）來構造m步狀態轉移概率矩陣。

如果狀態劃分不合適，以致某一狀態中無原始數據落入時，則可令p(m)i，j=0。p(m)反應了系統各狀態之間轉移的規律。通過考察p(m)和初始狀態Ei，就可以預測系統未來的發展變化狀況。在實際中一般只要考察一步轉移概率矩陣。

（四）計算模擬值

設預測對象處于Ek狀態，考察一步轉移概率矩陣P中的第k行，若maxjpkj=pkl，則可以認為下一時刻系統最有可能由狀態Ek轉向狀態Ej。若遇到矩陣P中第k行有兩個或兩個以上概率相同或相近時，則狀態的未來轉向難以確定。此時，需要考察兩步或n步狀態轉移概率矩陣P(2)或P(n)（其中n≥3）。確定了預測對象未來的狀態轉移后即確定了預測值變動的灰區間，然后就可以用該區間中位數y(k)＾得到系統的模擬值，其中y(k)＾=12(E1i+E2i)=y()+12(Ai+Bi)。

三、基金凈值預測的灰色GM(1，1)-馬爾可夫方法

本文選取開放式基金—廣發穩健增長（270002）2007年12月14日至2008年1月4日16天的基金凈值作為樣本進行預測。

（一）GM（1，1）模型

根據前述方法，利用16個原始樣本數據，求解出=(BTB)-1BTyn=-0.00662.1656，從而得到a=-0.0066，u=2.1656，進而得到GM（1，1）模型：(1)(k+1)=x(0)(1)-uae-ak+ua=330.3448e0.0066k-328.1212。模擬預測序列：(0)(k+1)=(1)(k+1)-(1)(k)=2.1731e0.0066k，即(k)==2.1731e0.0066k。

（二）模型檢驗

1.殘差檢驗

利用公式經過計算得到殘差檢驗表（表1）：

表1 殘差檢驗表

序號x(0)(i)(0)(i)ε(0)(i)=x(0)(i)-(0)(i)相對誤差（%）

12.22362.223600

22.17402.1875-0.0135-0.6210

32.16482.2020-0.0372-1.7184

42.20062.2166-0.0160-0.7271

52.23902.23120.00780.3484

62.24772.24600.00170.0756

72.28102.26090.02010.8812

82.28882.27580.01300.5680

92.29992.29090.00900.3913

102.34302.30610.03691.5749

112.34852.32140.02711.1539

122.34842.33670.01170.4982

132.34832.3522-0.0039-0.1661

142.35882.3678-0.0090-0.3816

152.34502.3835-0.0385-1.6418

162.37992.3992-0.0193-0.8110

由誤差計算結果可以看到，相對誤差不超過2%，可以認為模型精度是很高的。

2.關聯度檢驗

經過計算得到如下關聯系數表（表2）：

表2 關聯系數表

序號（k）ε(k)序號（k）ε(k)序號（k）ε(k)序號（k）ε(k)

1150.7190.68130.83

20.9560.92100.34140.68

30.3470.49110.42150.33

40.5580.60120.62160.50

表3 凈值預測表

項目GM(1，1)模型灰色-馬爾可夫模型

編號日期實際值預測值殘差相對誤差預測值殘差相對誤差

171月5日2.37992.4311-0.051-2.1523%2.37110.00880.0370%

181月8日2.42212.4472-0.025-1.037%2.38720.03490.4972%

191月9日2.41372.4634-0.050-2.06%2.40340.01030.4271%

關聯度ξ計算：本例中，ξ=1n-1∑nk=1ξ(k)=ξ=116-1∑16k=1ξ(k)=0.6399。一般來說，在ρ=0.5，ξ=0.6399時是令人滿意的。

3.后驗差檢驗

根據前述:x(0)=1n∑nk=1x(0)(k)=2.2870，s02=∑nk=1[x(0)(k)-x(0)]2=0.0748，從而求出原始數列x(0)的均方差s0=s02n-1=0.0706，ε(0)1n∑nk=1ε(0)(k)=0.000631，s12=∑nk=1[ε(0)(k)-ε(0)]2=0.006717，殘差數列ε(0)的均方差s1=s12n-1=0.021162；

由此計算方差比：c=s1/s0=0.2996；小誤差概率p：p={|ε(0)-ε(0)|＜0.6745s0}。

P={|ε(0)-0.000631|＜0.6745×0.0706}={|ε(0)-0.000631|＜0.04764}=1

由預測精度等級劃分表：當小誤差概率p值＞0.95、方差比c值＜0.35，則預測精度等級為“好”，可知前面得到的模型有較好的預測精度，并可用于預測。

（三）馬爾可夫狀態轉移概率矩陣

根據廣發穩健增長（270002）16個樣本數據的分布狀況，經過多次試驗將其劃分成四個狀態，即：

E1:E11=(t)-0.03;E21=(t)-0.0225

E2:E12=(t)-0.0225;E22=(t)-0.01

E3:E13=(t)-0.01;E23=(t)+

E4:E14=(t)+;E24=(t)+0.01

其中，=2.2870，狀態劃分好后，計算一步轉移概率矩陣。經計算，落入四個狀態的原始樣本數據分別為：M1=2，M2=4，M3=6，M4=4。由狀態E1轉移到狀態E1:E4的原始數據樣本點數分別為M11(1)=2，M12(1)=0，M13(1)=0，M14(1)=0。類似的方法可以求解Mij，進而得到一步轉移概率矩陣為：

P（1）=1000

230130

0161213

0141214

（四）計算模擬值

根據上面P（1）的矩陣就可以預測基金凈值的未來轉移狀態。2008年1月4日的基金凈值處于E2狀態，那么接下來就考察P（1）矩陣的第二行，可以得到maxp2j=p21=23，因此可以預測2008年1月5日的廣發基金凈值最有可能處于E1狀態，則基金凈值可能落在灰區間[(17)-0.03，(17)-0.0225]，即[2.362513，2.379663]，得到最有可能的預測值為：2.3711。實際上廣發穩健下一個交易日的基金凈值為2.3799，灰色-馬爾可夫模型的預測誤差為0.0088，相對誤差率為0.3703%；而通過灰色GM(1，1)模型計算得到的預測值為2.4311，預測誤差為0.0512，相對誤差率為2.1523%。同樣的方法預測出接下來的兩個交易日即2008年1月8日和9日的基金凈值。具體數據見表3：

從以上表中數據比較可以看出，灰色-馬爾可夫模型的預測精度較高，對于隨機波動性大的數據預測效果較好，各項預測指數都要優于灰色GM（1，1）模型。

四、結論

基金凈值受多種因素影響，其不確定因素難以準確把握，基金凈值的預測問題是一個典型的

灰色系統。而合理準確地預測基金凈值走勢，對于投資者把握投資機會，做出適時的投資決策，具有重要的現實意義。本文吸取了灰色預測方法和馬爾可夫預測方法的優點，將兩種方法結合起來，建立灰色-馬爾可夫預測模型，并選取廣發穩健增長2007年12月14日至2008年1月4日16天的基金凈值數據作為樣本進行了預測分析。預測結果顯示，灰色-馬爾可夫模型的預測精度較高，各項預測指數都要優于灰色GM（1，1）模型，可見灰色－馬爾可夫模型具有較好的預測應用價值。

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（作者單位：青島大學經濟學院）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文