Ｂｅｃｋ模型對于恒生指數的適用性研究

前言

關于股票價格收益率的分布問題在國外是很流行的研究課題，早在二十世紀六十年代，就有不少西方學者開始著手研究股票收益的分布問題，通過多年的研究，對成熟市場收益率的分布特征有了比較多的認識和共識，其主要結論是實際股票價格序列往往表現出非平穩性，因此為了消除由于經濟增長和通貨膨脹所引起的價格線性增長趨勢，通常研究取其對數差分后的序列，即收益率序列。收益率序列通常表現出很好的平穩性，但大多數情況下并不服從正態分布，而是呈現出“尖峰厚尾”的特征（相對于正態分布而言）。

Beck模型是Tsallis統計的動態結構，Tsallis統計是基于Tsallis熵的最大化原理而得出的。研究表明，Beck模型能夠很好地描述股票收益的特征，并且適用于VaR估計的實際應用中。波動性是金融市場中最重要的特征之一，直接與市場的不確定性有關，影響著企業和個人的投資行為。通常波動性用方差來描述和度量的，傳統的經濟計量模型往往假設方差是不變的，但真實的股票市場并非如此。本文選用香港恒生指數的日對數收益率作為研究的樣本數據，發現股票市場的波動性很好地符合了Beck模型的假設條件，即比收益率在較長時間內震動，并且其倒數服從Gamma分布。因此，收益率服從Tsallis統計學中的q-Gaussian分布，當q趨向于1時，收益率就服從正態分布。

一、波動率慢震動性的證明

本文來分析β基于Beck模型的假設，即慢震動和服從Gamma分布，跟實際金融市場的數據是否相符合。在本文中，β是指波動性的倒數，如果波動性的倒數具有慢震動性，那也可以認為β也具有慢震動性。波動性的慢震動也就是說，在股票市場上，波動性序列相對于收益率序列來說具有長期記憶性。（T.Bollerslev等，1992）對于波動性長期記憶效應的開創性研究始于Taylor及Ding。Ding等人對SP500指數收益率的開創性研究表明，盡管股票收益率序列的自相關性很弱，但其波動率序列卻表現出很強的長記憶性，具有波動持久性（李紅權，馬超群，2005）。本文選用日對數收益率：μt=ln(Pt)-ln(Pt-1)作為研究樣本。對于波動率，選取均值離差平方Xt=(ut-u)2來衡量。

從樣本的序列自相關系數(ACF)與偏自相關系數（PACF）（估計到滯后200階）來看：第一，收益率序列{ut}的自相關性較弱，最大自相關系數均為0.083；雖然相關系數的值均較小，但Q統計量仍較大，說明序列仍存在自相關結構。并且，序列相關圖顯示，樣本序列前200階自相關系數并未表現出季節性和周期性。第二，波動率序列{(ut-u)2}不僅具有顯著的自相關與偏自相關結構，而且相關系數較大，最大相關系數均為0.125，說明序列具有顯著的非線性相關性與ARCH效應；進一步分析可知，波動率序列在滯后74階時才第一次出現負值，然而，收益率序列在第二階就已經出現了負值，說明波動性相對于收益率來說，具有明顯的長期記憶性。圖1和圖2分別為兩者的自相關系列圖。

圖1 收益率的自相關系數

圖2 波動率的自相關系數

二、波動率倒Gamma分布的證明

另一方面，β服從Gamma分布，可證明波動性是否服從倒Gamma分布。首先把近20年的收益率序列劃分為多個窗寬為L的子區間，以此計算每個子區間的波動率Ti。

Ti=1L∑(i+1)Lk=iL+1(uk-u)2（4-4）

其中，u為個區間收益率的均值。從圖4-5可以看出，波動率的自相關系數在20-60天內減少到接近于0，表明T的馳豫時間在幾個月左右（1個月約為20個工作日），所以取L=40。總共有5263個收益率，為了方便計算，取前5240個數據，所以可劃分為131個子區間。利用MATLAB計算出的各個區間的波動性Ti，再轉化為βi=1/Ti。利用等距頻率直方圖的方法，來檢驗這131個波動率倒數是否服從Gamma分布。圖3為波動率倒數的頻數圖。

圖3

從圖3可看出波動率倒數大致符合Gamma分布圖。運用χ2統計量進一步的檢驗。

χ2=∑ki=1(ni-npi)2npi，（4-5）

其中，k為區間數，ni為每個小區間的樣本數，pi是在假定βi=1/Ti服從Gamma分布的情況下，每個小區間的理論頻率。可得出χ2=0.448，所以β服從Gamma分布，即波動性T服從倒Gamma分布。

三、結論

由以上證明可知，恒生指數的波動性滿足Beck模型的兩個假設條件，因此可用Beck模型來分析股票收益的分布函數。正如大家所知，金融市場的分布是非正態且厚尾的。作為Tsallis統計的動態結構，Beck模型最早被用于描述流體動力學中的震動問題，用于解釋溫度變動引起厚尾分布的原因。如果我們考慮價格變動和時間行為無關，那么，相較于被用于分布，Brownian運動更適用于市場數據的分析。所以，除了物理學和化學，Beck模型被成功地用于金融市場和其他研究中。（N.Kozuki M. Ausloos， 2003）

參考文獻：

[1]M.Kozaki，A.-H.Satao，2008， Application of the Beck model to stock markets:Value-at-Risk and portfolio risk assessment， Physica A 387.

[44]T.Bollerslev， R. Chou， K. Kroner， 1992，ARCH modeling in finance: A review of the theory and empirical evidence， Econometrics 52.

[47]李紅權，馬超群.股票收益率與波動性長期記憶效應的實證研究.財經研究，2005（8）.

[40]N. Kozuki， N. Fuchikami， 2003， Dynamical model of financial markets: Fluctuating 'temperature' causes intermittent behavior of price changes，Physica A 329.

（作者單位：浙江工商大學統計學院）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文