隨機過程理論在股票及期權研究中的應用

一、引言

對金融工具進行正確的估價是對風險進行有效管理的必要條件，而金融工具具有公平的價格是它們合理存在與發展的關鍵。我們常用的幾何布朗運動所描述的證券價格的變化過程是連續的。但從金融市場發展的歷史來看，證券價格的變化過程經常會受一些不可預測的隨機事件破壞，如受金融危機，股市崩盤等的影響，產生劇烈的波動，而具有向上或向下的不連續的跳躍。為了更準確的預測證券價格的波動和走勢，可以把價格的變化過程分解為跳躍過程與布朗運動的疊加，而且假定跳躍部分與連續部分是相互獨立的。因此我們就利用滲流理論建立了一種具有跳躍性質的股票價格模型。

二、帶跳躍的股票價格模型的構造

1.連續過程

我們根據滲流理論來構造股票價格模型。假定有N個投資者，且其中投資者i(i=1，…，N)持有Mi種股票B1i，…，BMii。例如:當M1=…=MN=2且B11=B22，B12=B23，…，B1N-1=B2N，B1N=B21時，市場上有N種股票，此時的市場構造可由一位環面S1表示（如圖1）。同理若在二維空間S2上（如圖2），有N×N個投資者，每個投資者(i，j)，1≤i，j≤N-1持有4種股票B(i+1，j）(i，j)，B(i-1，j）(i，j)，B(i，j+1）(i，j)，B(i，j-1）(i，j)，假定投資者(i，N)持有股票B(i，1）i，N來代替B(i，N+1）(i，N)，(N，j)持有股票B(1，j)(N，j)。令B(k，l)(i，j)=B(i，j)(k，l)，即每個投資者與他四個鄰居中的一個僅持有一種相同的股票，在邊界上的投資者與他相對邊上的投資者持有相同股票（例如，投資者(i，N)與投資者(i，1)都持有股票B(i，1)(i，N)）。假設每個投資者眼界是有限的，即他們都只關心自己所持有的股票及該股票的價格指數，而對自己所不持有的股票不感興趣，且假定投資者投資組合的內容不變。

設在t天，投資者在二維空間上以強度λ的Poisson點過程產生點集分布，記為{X(i，j)(r)，i，j∈I}。相鄰接的投資者集合構成一個滲流連接串，設集合{X(i，j)(t)，i，j∈I}共構成K(t)(K(t)＜∞)個滲流連接串，分別記作C1(t)，C2(t)，…，CK(t)(t)，其中K(t)為一服從泊松分布的隨機變量且參數是λ0。將投資者的狀態用η(Xi，j)(t))表示，即若投資者預測股市上漲或下跌時η(X(i，j)(t))分別為+1或-1，預測股市保持不變時η(X(i，j)(t)=0)。

下面分三步來構造收益過程。在每一個周期中，對于t≤T

第一步:在每一個串Ck(t)，k=1，2，…，K(t)中隨機的選取一個投資者，用X(i，j)(Ck(t))表示，他以α/2的概率預測股市會上漲或下跌，以1-α的概率預測股市保持不變。當他預測股市會上漲或下跌時，會相應的買進或賣出他所持有的股票B1i，…，BMii，當他預測股市不會變化時，將保持中立。即η(X(i，j)(Ck(t))=1或者-1的概率都為α/2，η(X(i，j)(Ck(t))=0的概率為1-α。同時將這個投資者所在串的狀態記作+1，-1或0，用sgn(Ck(t))表示。

圖1 環形圖

Fig。1 The 1-dimensional tours

圖2 二維方格圖

Fig。2 Thenetwork of structure of the market

第二步:看到交易者X(i，j)(t)買進或賣出股票，與之持有相同股票的鄰居X(k，l)(t)能以一定的概率判斷出股市將要上漲、下跌或是保持不變。即:如果交易者X(i，j)(t)買進，其鄰居將以概率pu認為股市上漲，以概率1-pu認為股市保持不變。如果交易者X(i，j)(t)賣出股票，其鄰居將以概率pd認為股市下跌，以概率1-pd認為股市保持不變。當鄰居X(k，l)(t)認為股市上漲或下跌時，他也會相應的買進或賣出股票。如果交易者X(i，j)(t)保持中立，則其鄰居也都保持中立，即P(η(X(k，l)(t))=0)=1。其中，pu和pd都被假定為股票價格指數S的函數:pu=pu(S(t))為遞減函數，pd=pd(S(t))為遞增函數。

第三步:以St表示t時刻的股票價格指數，以R表示股票價格指數的收益率。則在串Ck(t)上就有

Rk(t)=ln(St/ΔSt)=ρ×sgn(Ck(t))×|Ck(t))|(1)

其中ΔSt=St-St-1;ρ為正常數，表示市場參數;|Ck(t)|為串Ck(t)中交易者的數量。sgn(Ck(t))表示串Ck(t)的狀態。

(2)跳躍過程

設兩相鄰投資者間可傳播消息的概率為p。得到利好或利空消息的投資者將會買入或賣出自己投資組合中的全部股票，從而對股市行情產生影響。用C(x)表示得到消息的投資者集合，C(x)為所有投資者的集合，顯然C(x0)C(x0)，因此有0≤|C(x0)|≤|C(x0)|。

考慮n天作為一個時間周期，{Nn}為n的非降序列，在平面[-Nn，Nn]2上，用Cs表示在第s天形成的Poisson點集，在這一天的初始時刻，位于x0處的投資者以概率α，β(α+β≤1)及1-α-β收到好，壞或中立的消息。我們假設市場總體處于上升趨勢，因此不妨設α≥β，并記消息為gs，且有gs=+1(若x0處的投資者收到好消息)，gs=-1(收到壞消息)，gs=0(收到中立的消息或者沒有受到任何消息)。則此消息在鄰居間以概率p傳播開。記ks=k(λs)為一個系數，表示消息的強弱程度。設

As=gs·ks·|Cs(x0)|/|Cs(x0)|(3)

現在來討論該模型。為了方便討論，我們將該構造連續化。設t∈[0，1]，則[nt]∈[0，n]，其中，[·]表示不小于數·的最小整數。定義

W[nt]=1/n∑[nt]s=1As=1/n·∑[nt]s-1gs·ks·|Cs(x0)|/|Cs(x0)|

則由各個時刻的獨立性，得

E[eizcW[nt]]=∏[nt]s=1[1+izc/n·E[As]-z2c2/2n·E[As2]+o(1/n)]

以下我們分三種情況來討論(見文獻[7，8])，設0＜τn1＜τn2＜1（τn1，τn2為服從參數為n，λ的Γ分布隨機變量。），則

(a)當0≤t≤τn1時，設λs=λ0＜λc，s=1，2，…，[nτn1]由連續滲流理論，此時在n→∞，即Nn→∞時，不存在無窮的滲流連接串。即可認為消息的影響較小，只有在有限的范圍內傳播。由于p≤1，因此對股票價格的影響不大。

(b)當τn1＜t≤τn2時，設δ1為一個充分小的正常數，λs=λsup=λc+δ1，此時ks=1，在R²上存在無窮的滲流連接串，由于消息在這個無窮串上得到廣泛傳播，其影響力遠遠超過其他串，可以認為這時的市場出現了重大的利好或利空消息，因此指數的波動主要取決于無窮串上消息的傳播，其他串上消息的傳播則可忽略不計。由連續滲流的平移不變性，不妨將此無窮串記為C(x0)。首先，在λ≥λc下，定義pc(λ)

pc(λ)=inf{p:在C（x0)上存在子串C（x1)滿足|C（x1)|=∞|}

先來看ps＜pc(λsup）的情況。設p0＜pc(λsup），取

εn=1[nτn2](pc(λsup)-p0)

令ps=pn=pc(λsup)-εn，再構造

Nn=inf{N∈N:Eλsup，pn(|Cs(x0)|/|Cs(x0)|)≤1/n}

顯然Nn為非降序列。因此在[-Nn+1，Nn-1]2中，我們有

Eλsup，pn(|Cs(x0)|/|Cs(x0)|)≤1/n，limn→mEλsup，pn(|Cs(x0)|2/|Cs(x0)|2)=0

可知由于消息只掌握在少數人手中而沒有大面積傳開，則它所造成的影響有限，只能產生很小的波動。可設α＝αs，β=βs滿足

E[As]=(αs-βs)ksE(|Cs(x0)|/|Cs(x0)|)=1/n

于是有

limn→∞Eeizc(W[nt]-W[nτn1]+1)=exp{izc(t-tn1}，τn1＜t≤τn2(4)

(c)當τn2＜t≤1時仍設λs=λsup，而另取一個充分小的正常數δ2，令ps=psup=pc(λsup)+δ2，則在無窮串C(x0)上存在一個無窮子串C(x1)，由連續滲流理論知此時股票價格指數會產生劇烈的波動。仍然只關心這個無窮子串而將其他子串忽略不計，因此不妨再利用平移不變性，設x1=x0。此時，令

c1=Eλsup，psup(|Cs(x0)|/|Cs(x0)|)，c2=Eλsup，psup(|Cs(x0)|2/|Cs(x0)|2)

則c1≥0，c2≥0設α=αs，β=βs滿足αs+β=1，αs-βs=1/n，此時

limn→∞Eeizc(W[nt]-W[nτn2]+1)=exp{(izcc1-z2c2c2/2)(t-τn2)}，τn2＜t≤1(5)

綜上，我們可以認為，在每一個跳躍點n，股市會產生一個振幅為c2As的小跳躍或者產生一個振幅為cAs的大跳躍，其中c為正常數。令

ξt1=∑ts=1c2As，ξt2=∑ts=1cAs(6)

則我們就得到股票價格的指數為

S(t)=S(0)exp∑ts=1∑k(s)k=1[Rk(s)]+ξt1I(τn1，τn2](s) +ξt2I(τn2，1](s)

=S(0)exp∑ts=1∑k(s)k=1[Rk(s)]

+∑ts=1c2AsI(τn1，τn2](s)+∑ts=1cAsI(τn2，1](s)(7)

其中IA(t)為示性函數，即IA(t)=1，t∈A0，tA。

若令J(t)=eξt1Iτn1，τn2](t)，對于0＜t＜1，由式(4)，(5)可以得到

E[J(t)]=ect2·Iτn1，τn2](t)+cc1t·I(τn2，1](t)

Var[J(t)]=ec2c2t·I（τn2，1](t)(8)

且對于Rk(t)，我們可以得到

μ(s)=λ0as 0＜s＜1(9)

σ2(s)=0 0＜s＜1/2r0λ0 1/2≤s＜1(10)

則由式(8-10)有

E[S(t)]=S(0)eλ0at+ct2·I(τn1，τn2](t)+cc1t·I（τn2，1](t)0＜t＜1/2

S(0)eλ0at+r0λ0/2+ct2·I(τn1，τn2](t)+cc1t·I（τn2，1](t) 1/2≤t＜1

三、無套利價格

由套利定理，如果所有的期權相對于風險中立概率都被公平定價，那么套利就不可能存在。當一個股票的初始價格為S0時，令C（S0，t，K)表示到期日是t，執行價格是K的期權的無套利價格。也就是說，C(S0，t，K)就是當初始價格為S0時由Black-Scholes期權定價公式所計算出的C，如果在時刻y，標的證券的價格是S(y)=Sy，那么C(S0，t-y，K)就是期權在時刻y時的唯一無套利價格。這是因為在時刻y，期權會在經過時間t-y后以相同的執行價格K到期，并且在下面t-y個單位時間內該證券仍然會服從初始價格為Sy的幾何布朗運動。由于風險中立幾何布朗運動僅依賴于σ的變化，因此期權的無套利價格對布朗運動的依賴性僅僅是通過對布朗運動的波動參數σ的依賴來體現的，而與漂移參數無關。如果我們假定證券價格演化過程服從的幾何布朗運動分布的波動率σ不變，而漂移參數是隨時間變化的，那么期權的無套利價格也是不變的。我們知道，一個到期日是t，執行價格是K的歐式買入期權的無套利價格為

無套利價格=e-rtE[J(t)S0eW-K)+]

其中，S0為股票的初始價格，W是個均值為(r-σ2/2-c/2·I（τn1，τn2](t)-cc1·I(τn2，1(t))t，方差為tσ2的正態隨機變量。如果令

st=S0e-ct2·I(τn1，τn2](t)-cc1·I（τn2，1](t)=S0E[J(t)]

那么

無套利價格E[C(stJ(t)，t，K，σ，r)]

由于C(s，t，K，σ，r)關于s為凸函數，根據已知的詹森（Jensen）不等式得到

E[C(stJ(t)，t，K，σ，r)]≥C(E[stj(t)]，t，K，σ，r)=C(S0，t，K，σ，r)

這表明跳躍模型中的無套利價格，不會比同樣模型無跳躍時的價格低。

利用下面的方法我們可以得到此無套利價格的近似值。首先把C(x)=C(x，t，K，σ，r)只看作是的函數（其他變量保持不變），把它在某個點x0按泰勒級數張開，然后忽略不計第三項以后的全部項得到

C(x)≈C(x0)+C′(x0)(x-x0)+C″(x0)(x-x0)2/2

因此，對于任何非負的隨機變量，我們有

C（X)≈C(x0)+C′(x0)(X-x0)+C″(x0)(X-x0)2/2

令x0=E[X]并對上式左右兩邊同時取期望得到

E[C(X)]≈C(E[X])+C″(E[X])Var(X)/2

令

X=stJ(t)，E[X]=S0

則

E[C(stJ(t))]≈C(S0)+C″(S0)s2tVar(J(t))/2

定理:假設跳躍的大小服從一般的分布，那么

期權的無套利價格=E[C(stJ(t)，t，K，σ，r)]≥C(S0，t，K，σ，r)

而且

期權的無套利價格≈C(S0，t，K，σ，r)+s2tVar[J(t)]12S0σ2πte-2/2

=C(S0，t，K，σ，r)+S20Var[J(t)]E2[J(t)]12S0σ2πte-2/2

其中:st=S0/E[J(t)]，=rt+σ2t/2-log(K/S0)σt。

由定理，在我們所構造的模型中，就有

期權的無套利價格=C(S0，t，K，σ，r)+S20ec2c2t·I(τn2，1](t)-(ct2·I(τn1，τn2)(t)+cc1t·I(τn2，1)(t))212S0σ2πte-2/2

四、結語

根據滲流理論，構造了股票價格波動過程中的連續過程與跳躍過程，并對模型的無套利價格進行了估算。本文希望所建立的證券價格隨機模型更加接近實際問題，希望該模型的建立對我們研究實際價格波動具有一定的理論和現實意義。

基金項目：國家自然科學基金資助項目(70471001;70771006);北京交通大學基金項目(2006XM044)

（作者單位：北京交通大學理學院）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文