“圓的周長”教學實錄與評析

教學過程：

一、問題引入

課件出示：

師：這是一個正方形，請你們用手在空中描出它的周長。(板書：周長)

師：它的邊長是a，周長是多少?

生1：4a。

師：由此發現，正方形的周長是邊長的幾倍?

生2：正方形的周長是邊長的4倍。

課件出示：

師：正方形中有一個圓，想一想，它與正方形有什么關系?

生3：它是正方形中最大的一個圓。

生4：圓的直徑等于正方形的邊長。

師：你們抓住了兩個圖形之間的聯系，說得好!那么，你能用手在空中把圓的周長描出來嗎?(板書：圓的)

師：說一說，什么叫做圓的周長?

生：圓一周的長度叫做圓的周長。

師：下面，我們把圓的周長與正方形的周長進行比較，你發現了什么?

生5：正方形的周長是直的，可以直接測量；而圓的周長是彎曲的，不可以直接測量。

生6：在這個圖形中，圓的周長要比正方形的周長小。

生7(受生2的啟發)：圓的周長不夠邊長的4倍。

師：剛才我們知道，正方形的邊長等于圓的直徑，想想生7的觀點還可以怎么說?

生：圓的周長不夠直徑的4倍。

師：了不起!剛才大家通過比較和邏輯推理得出圓的周長與直徑之間的關系，即圓的周長不夠直徑的4倍，那么大約是幾倍呢?

生8：2倍。

生9：絕對不是2倍!因為半周是直徑的1倍多，兩個半周是圓的一周，也就是直徑的2倍多!

師：有道理!那么超過2倍，又不夠4倍，很可能是幾倍?

生10：超過2倍，但小于3倍。

生11：超過3倍，但小于4倍。

生12：也可能正好是3倍!

師：猜得好!三種答案，到底哪種更準確呢?請看投影——多媒體把圓的周長平均分成4條圓弧(電腦閃爍，如下圖)。想一想，一條圓弧大約是半徑的幾倍?

生13：一倍多。

師：大約多多少？(課件演示，連出一條線段，成了三角形的斜邊，如下圖)想一想，圓弧、斜邊、半徑的大小怎樣?

生14：圓弧最大，半徑最小。

生15：斜邊是半徑的一倍多，圓弧是斜邊的一倍多，所以圓弧完全超過半徑的一倍半。

師：你的推理非常符合邏輯!那么，請你們算一算，4條圓弧即一個圓的周長大約是半徑的幾倍多?

生16：1.5×4，大約6倍多。

師：圓的周長是半徑的6倍多，換算成是直徑的幾倍多?

生17：6÷2，大約3倍多。

師：你真會思考!今天“圓的周長”的學習，你們已經成功了一半!不過，這只是猜想，還需要驗證!下面，我們就來驗證這條規律是否正確!

二、探索驗證

師：剛才你們說圓的周長是曲的，不可以直接測量。那么，怎么間接地測量呢?

生1：可以在直尺上滾一周。

生2：可以用繩子繞一周，再用直尺測量出繩子的長度。

師：拿出學具，選擇自己喜歡的方法，隨意測出一個學具圓的周長與直徑，然后填入下表。有困難的可以同桌合作，共同完成。

(學生興趣盎然，紛紛動手測量起來)

生3：直徑3厘米，周長9.4厘米。

生4：直徑4厘米，周長12.6厘米。

生5：直徑5厘米，周長15.7厘米。

師：怎樣測出結果來的?

生6：我是在圓上繞繩，再把繩子拉直，測出是9.4厘米，所以圓的周長就是9.4厘米。

生7：我也是繞繩，但方法跟生6不完全相同。我是先把圓形紙片平均分成4份，只測出其中一條圓弧的長度，再乘以4就得到圓的周長。

師：挺有創造性!

生8：我將圓放在直尺上滾，圓不是后退，就是前進，有點把握不住。

生9：我也是選擇滾動的方法，不過是與同桌一起做的。他按住直尺，我滾動圓片，很快就完成了。

師：你們看，這就是合作學習的力量!不是有句俗語“三個臭皮匠，頂上一個諸葛亮”嗎?所以，在學習上，我們要多合作、多互助!

師：分析測量的結果，總的來看，圓的周長是它直徑的幾倍多?

生10：3倍多一些。

師：剛才的猜想怎么樣?

生：正確!

師：既然猜想是正確的，那么我們就應該把它作為科學的結論記在心里!同學們，在一千五百多年前，有一個人也像你們今天這樣，為得出這個結論而不懈地努力著!他是誰呢?請看大屏幕——

課件出示：早在一千五百多年以前，我國古代的數學家祖沖之就精密地計算出圓的周長與它直徑的倍數，即在3.1415926~3.1415927倍之間，這是當時世界上算得最精確的數值——圓周率，比歐洲要早一千多年。

師：一千多年是一段何等漫長的時間啊!為了紀念他，科學家們把月球上的環形山命名為祖沖之山?？戳诉@則歷史資料，難道你不想談點什么感受嗎?

生11：咱們中華民族太偉大了!

生12：我們為有祖沖之這樣的科學家而感到自豪!

生13：我們也要發奮圖強，“為民族之崛起而學習”!

師：我相信這些都是你們的肺腑之言，讓我們帶著美好的愿望繼續學習“圓周率”!什么叫圓周率?請自學課本。

(學生自學課本，然后匯報交流)

生14：圓的周長是直徑的3倍多一點，這個倍數是固定的數，叫做圓周率。

生15：圓周率用字母n表示，是個無限不循環小數，通常取近似值為3.14。

生16：圓周率=圓的周長÷直徑。

師：你能根據“圓周率=圓的周長÷直徑”，得出求圓的周長的公式來嗎?

生17：圓的周長=圓周率×直徑。

師：用大寫字母C表示圓的周長，求圓周長的字母公式怎么寫?

生18：C=πd。

師：如果給出的是圓的半徑，求圓周長的字母公式又該怎么寫?

生19：C=π2r。

生20：當數字與字母相乘時，應該把數字寫在字母的前面，如C=2πr。

師：你們覺得用滾動、繞繩、公式等方法求圓的周長，哪種方便?為什么?

生21：當然是用公式方便嘍!

生22：用滾動、繞繩的方法求圓的周長具有局限性!

生23：求圓形花壇的周長不好滾啊!(眾生大笑)

生24：轉動的吊扇所形成的圓是空的，根本不能用繩子繞啊!

師：同學們講得非常好!看來，只有計算公式才具有高度的普遍性!這就是數學知識實用的價值啊!

三、鞏固深化

1.自學例1后提問：求“自行車輪滾動一周的距離”，其實就是求什么?怎么求?

2.判斷正誤。

(1)圓的周長是它直徑的3.14倍。()

(2)大圓的圓周率大，小圓的圓周率小。()

(3)圓的周長是它半徑的2?仔倍。()

(4)圓周長的一半就是半圓的周長。()

小圓的半徑是大圓半徑的()／()；

小圓的周長是大圓周長的()／()。

師：為什么這兩題的結果相同呢?你發現了什么規律?

生1：小圓的直徑是大圓直徑的2／3，根據分數的基本性質，分子、分母同時縮小2倍結果不變，即小圓半徑是大圓半徑的2／3。同樣，把分子、分母同時擴大π倍結果也不變，即小圓周長是大圓周長的2／3。

生2：我發現小圓與大圓的半徑比、直徑比、周長比是相同的。

4.解決生活中的實際問題。

師：教學樓門前的圓柱形石柱，怎樣知道它橫截面的直徑長度?

生3：把樓板掀開，用尺去量。(眾生大笑)

生4：那樣做挺費事，不太現實!

師：對呀!難道就沒有簡單的辦法，測量出石柱的直徑了嗎?今天，我們學習了什么內容?

生5(豁然開朗)：圓的周長是它直徑的?仔倍，我們只要測出石柱橫截面的周長，再除以?仔就能得出它的直徑。

師：利用圓的周長與直徑的關系，可以幫助我們解決生活中的難題，這就是數學的魅力??！

5.課件出示。(與課始相呼應)

設問：正方形的周長比圓的周長長多少?

(學生都能列式為4a-3.14a=0.86a)

四、課堂總結

師：同學們，今天學習了“圓的周長”，你有什么收獲?

……

課后評析：

“圓的周長”一課在設計時力求體現數學的本質：在探究圓的周長的過程中滲透了對數學思想方法的把握，及對數學特有的思維方式的感悟和對數學精神(理性精神與探究精神)的追求。

縱觀“圓的周長”教學過程，不難發現以下三大特色：

1.建構基于經驗——在數學學習中關注了學生的知識經驗。

學習活動是學生以自身已有的知識和經驗為基礎的主動建構的過程。學生在新知識學習之前，已有自己的知識結構和經驗結構，它們是學生新知獲得的“固著點”。上述教學圍繞“固著點”進行一系列的思維操作——歸納、演繹、抽象、概括，讓新舊知識相互作用，使經驗上升為數學知識，最終形成新的認知結構。本節課的問題引入是以學生已經學過的正方形有關知識為突破口，通過尋找“曲”與“直”之間的聯系，讓學生去探究，很巧妙地溝通了新舊知識之間的內在聯系，最大限度地挖掘了學生已有的知識基礎。在課后練習時，關注學生的生活經驗——“怎樣知道教學樓前石柱的橫截面直徑”，同時也體現了數學的價值性。

2.方法重于結論——在數學學習過程中關注了數學思想方法的滲透。

數學思想是數學知識的“靈魂”，它隱藏于知識的形成過程之中，不僅是數學活動中的根本想法，是對數學內在規律的理性認識，而且是數學知識與數學方法的高度概括總結。學生在探索活動中建立數學思想，反過來數學思想又幫助了學生理解與解決數學問題。

本節課中，讓學生主動從事觀察、比較、實驗、類比、猜測、驗證等探索性、發現性的思維活動，在自主探索過程中掌握知識、技能、數學思想和方法。其中，引入部分先以正方形為思考問題的切入點，讓學生在比較和類比中得出圓的周長比直徑的4倍少，使學生思考問題有了明確的方向。然后在正方形中構造一個最大的圓，為學生進一步理解圓的周長與直徑之間的關系搭好了“腳手架”。“先猜想，后驗證”的科學研究的方法讓學生進一步體會、豐富了驗證的方法，學生不僅感悟到動手操作(實驗)可以驗證結論的正確性和合理性，邏輯推理也不失為一種更科學、嚴謹的方法，體現了對數學特有思維方式的感悟與對數學精神的追求。

可以說，數學的理性精神(對“公理化思想”的信奉)與數學的探究精神(好奇心為基礎，對理性的不懈追求)是支撐著數學家研究數學進而研究世界的動力，也是學生學習數學、研究世界的最原始、最永恒、最有效的動力。

3.思維源于挑戰——在數學學習中關注思維的激活。

新課標在“數學思考”這一目標中明確指出：“在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動中，發展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法；學會獨立思考，體會數學的基本思想與思維方式?！毙W階段主要的思維方式有比較、類比、抽象、概括，猜想——驗證等，其中“概括”是數學思維方式的核心。要使數學教學成為思維活動的教學，就要為這種活動創造良好的條件。思維能力的培養主要靠啟迪，而不是靠傳授。

從上述教學中可以看出，在探究知識的過程中，教師的多次追問實際上就是引導學生進行獨立思考。學生進行了大膽的猜測后，教師引導學生用邏輯推理的方法，把一個圓周等分成4條弧，1條弧比1條半徑的1.5倍還多一些，換算成4條弧比1條半徑的6(1.5×4)倍還多一些，進而換算成1個圓的周長比1條直徑的3倍多一些。這個過程，環環緊扣，層層遞進，不僅有趣味，而且充滿了數學味，還尊重、利用了學生的差異，使學生在互動交流中，不斷豐富自己思考問題的方式和角度。在這一系列的活動中，學生的思維始終處于被激活、被挑戰的狀態。

另外，教學中，教師讓學生體驗求圓的周長用公式法比滾動法、繞繩法簡便，并引導學生進行反思。反思是一種內省行為，是對認識的再認識，是對感悟的再體驗。

總之，本節課關注學生的認知基礎，直面學生的數學現實，立足于學生未來的發展，注重知識之間的內在聯系，體現了數學思考，很好地詮釋了數學學科的本質。