構造長方形 妙解數學題

構造思想在數學解題中起著極其巨大的作用，尤其在培養學生創造性思維能力方面具有重要的意義。如著名的勾股定理的證明，就是構造正方形來求解的。我們由此得到啟發，構造長方形，利用長方形簡單而特殊的性質，能使某些數學題的解答達到巧妙的境界，給人以賞心悅目的數學美的感受。現舉幾例說明如下：

例1 一般應用題

一個筑路隊原計劃20天修完一條公路。實際每天比原計劃多修45米，提前5天完成任務。原計劃每天修路多少米?

分析與解：根據題意作圖如下：

圖中AD表示原計劃所需的天數(20天)，DE表示比原計劃提前的天數(5天)，BH表示實際每天比原計劃多修的米數(45米)，AB表示原計劃每天修路的米數。

由于長方形的一邊表示每天的工作量，一邊表示工作時間(天數)，所以相應長方形的面積表示總工作量。因為工作總量是一定的，所以長方形ABCD與AHGE的面積相等，由此可以推出長方形BHGF與EFCD的面積也是相等的，即45×(20-5)=EF×5，AB=EF=45×15÷5

=135(米)，所以原計劃每天修路135米。

例2 雞兔同籠問題

在一個停車場上，汽車、摩托車共停了60輛，一共有190個輪子。其中每輛汽車有4個輪子，每輛摩托車有2個輪子。求停車場上汽車和摩托車各有多少輛?

分析與解：我們可以畫這樣一個長方形面積圖(如下)：用長表示輛數，用寬表示每輛車的輪子數，則B長方形面積表示汽車輪子總數，C長方形面積表示摩托車輪子總數。

由圖可知，B+C面積表示190個輪子，A+B+C面積表示4×60=240(個)輪子。因此，A的面積是50個輪子。由于A長方形的寬是2，則它的長是50÷2=25，即摩托車有25輛，汽車的輛數則為60-25=35(輛)。

例3 盈虧問題

幼兒園給小朋友分餅干，每人分5塊餅干就多出13塊，每人分6塊餅干還差7塊。問幼兒園里有幾位小朋友?共有多少塊餅干?

分析與解：根據題意我們可以構造出下圖，長方形的橫邊表示每人分得餅的塊數，豎邊(AB)表示學生人數，長方形ABCD面積表示餅干的總塊數。

由圖可知，陰影部分的面積為13+7，其豎邊為小孩人數，橫邊長為6-5，即小孩人數為(13+7)÷(6-5)=20(人)，餅干總數為20×5+13=113(塊)。答：幼兒園里有20位小朋友，共有113塊餅干。

例4 工程問題

一件工程，甲隊單獨做10天完成，乙隊單獨做30天完成。現在兩隊合作，其間甲隊休息了2天，乙隊休息了8天(不存在兩隊同一天休息)。問開始到完工共用了多少天時間?

分析與解：題中甲隊休息了2天，換句話說就是乙隊單獨做了2天；乙隊休息了8天，換句話說就是甲隊單獨做了8天，其他的時間全是合作。據此，我們可以構造出如下的長方形圖：

由圖可知：

乙隊2天的工作量是：2×1/30=1/15

甲隊8天的工作量是：8×1/10=4/5

甲、乙合作的工作量是：1-(1/15+4/5)=2/15

甲、乙合作的時間是：2/15÷(1/10+1/30)=1(天)

因此，從開始到完工共用的時間則為1+2+8=11(天)。

由以上幾例可以看出，構造長方形解題不但巧妙、易懂，而且形象、直觀，能使問題化難為易、化繁為簡。精巧的思維方法令人陶醉。