用“歸一”“歸總”巧解“牛頓問題”

“牛頓問題”正如《小學教學參考》(數學版)2008第4期中張維寧和劉正榮兩位老師說的那樣，是小學數學中非常典型的一類題型，筆者也認為可以用“歸一”“歸總”的方法來解決。

“歸一”應用題的特點是：每份量保持不變；解決問題時，先求每份量，再算所求量。“歸總”應用題的特點是：問題保持不變；解決過程是先求總量，再算所求量。而“牛頓問題”正符合“歸一”“歸總”應用題的特點。

例1 一艘船出現了一個漏洞，水以均勻的速度進入船艙，當船員發現時，艙內已經灌進了一些水。如果12人來舀水，3小時可以舀盡；如果5人來舀水，10小時可以舀盡。現在要求2小時內把水舀盡，需要多少人?

分析：通過題意可知：①艙內已進入的水(原有水量)一定；②每人每小時舀水量一定；③每小時進水量一定。可設每人每小時舀水量為“1”，進而推導出每小時進水量和艙內已有的水量(原有水量)。

解：(1)總水量=原有水量+3小時的進水量=12人3小時的舀水量=12×3=36

總水量=原有水量+10小時的進水量=5個人10小時的舀水量=5×10=50

(2)比較可得：兩次舀水的時間差為10-3=7(小時)

進水總量差為50-36=14

也可以說，7小時的進水量為14人舀水量。那么，1小時的進水量為14÷7=2(人)舀水量。

(3)原有水量=總水量-3小時進水量=12人3小時的舀水量-3×每小時進水量=36-3×2=30

(4)這時，2人去舀每小時的進水量，其他人在2小時內舀完原有水量(30)。

需要人數為：30÷2=15(人)

共需人數：15+2=17(人)

例2 牧場有一片草地，每天草都生長的一樣快。這片草地可供10頭牛吃20天，或供15頭牛吃10天。請問：這片草地可供25頭牛吃幾天?

分析：通過題意可知：①原有草量一定；②每頭牛每天的吃草量一定；③草每天的生長量一定。所以可以設每頭牛每天的吃草量為“1”，這樣就可以推導出草每天的生長量和原有草量了。

解：(1)總長草量=原有草量+20天長草量=10頭牛吃20天草量=20×10=200

總長草量=原有草量+10天長草量=15頭牛吃10天草量=10×15=150

(2)比較可得：兩次吃草的時間差為20-10=10(天)

兩次總長草量的差為200-150=50

也可以說，10天的總長草量為50頭牛的吃草量。那么，可得出每天的長草量為50÷10=5頭牛的吃草量。

(3)原有草量=總長草量-20天長草量=10頭牛吃20天草量-20每天長草量=200-20×5=100

(4)25頭牛，分去5頭去吃每天長的劃，剩下25-5=20頭牛去吃原有草量100，需要的天數為100÷20=5(天)。

例3 電影院8時開門，但早有人來排隊等候入場，從第一個觀眾來到時起，每分鐘來的觀眾人數一樣多。如果開3個入場口，8時9分就不再有人排隊；如果開5個入場口，8時5分就沒有人排隊。第一個觀眾到達的時間是幾時幾分?

分析：通過題意可知：①開門前的原有觀眾人數一定；②每分鐘每個入口處放入的人數一定；③每分鐘來的觀眾人數一定。所以，可以設每分鐘每個入口處放入的人數為“1”，這樣就可以推導出每分鐘來的觀眾人數和開門前的原有觀眾人數。

解：(1)總人數=原有人數+9分鐘來的人數=3個入口9分鐘放入的人數=3×9=27

總人數=原有人數+5分鐘來的人數=5個入口5分鐘放入的人數=5×5=25

(2)比較可得：兩次放入的時間差為9-5=4(分鐘）

兩次的總人數差為27-25=2

可以說，4分鐘來的觀眾量為2，也就是每2分鐘就會來1個觀眾。那么，可以得出每分鐘來的觀眾量為2÷4=1/2。

(3)原有人數=總人數-9分鐘來的人數=3個入口9分鐘放入的人數-9×每分鐘來的觀眾量=27-9×1/2=45/2

(4)每2分鐘來一名觀眾，那么來45/2的觀眾量需要的時間，就是第一個觀眾等待的時間：45/2×2=45(分鐘)。第一個觀眾到達的時間是8時-45分鐘=7時15分。

例4 商場的自動扶梯，以均勻的速度由下而上行駛著，兄妹兩人從扶梯上樓，兄每分鐘走20級，妹每分鐘走15級，結果兄5分鐘到達樓上，妹6分鐘到達樓上，問該自動扶梯有多少級可見扶梯?

分析：通過題意可知：①兄妹兩人從樓上到樓下所上的總級數一定；②兄妹兩人每分鐘所上樓的級數差一定。所以，可以設兄妹兩人每分鐘所上樓的級數差為“1”，這樣就可以推導出總級數。

解：(1)兄本人上樓的級數為20×5=100(級)

妹本人上樓的級數為15×6=90(級)

(2)比較可得：兄妹兩人上樓的時間差為6-5=1(分鐘)

兄妹兩人上樓的級數差為100-90=10(級)

也可以說，每分鐘的級數差為10÷1=10(級)。

(3)總級數=兄本人上樓的級數+5分鐘的級數差=

100+5×10=150(級)

有這樣一句話：最復雜的問題，往往從最簡單的地方入手。其實，無論是用“分數”思路還是“歸一”、“歸總”的思路來解決“牛頓問題”，都是引導學生運用已有的知識和經驗轉難為易，培養他們善于應用、樂于發現、敢于創新的品質。只有這樣，才能讓學生在數學活動中不斷積累經驗，體驗到創新與成功的樂趣。