數(shù)形結(jié)合在求無理函數(shù)值域中的應(yīng)用

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)形結(jié)合；無理函數(shù)；值域；兩點(diǎn)距離公式；斜率；截距

〔中圖分類號〕 G633.63〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕 Ｃ

〔文章編號〕 1004—0463（2008）10（Ａ）—005６—０1

求函數(shù)值域的問題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個基本問題.由于求函數(shù)值域的方法較多、涉及的知識面較廣、題型靈活多變，而各種方法又常?；ハ酀B透，所以在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，求函數(shù)值域的問題一直是一個難點(diǎn).因此，教師應(yīng)總結(jié)和探討求函數(shù)值域的方法和技巧，以提高學(xué)生的應(yīng)變能力.

數(shù)形結(jié)合是求函數(shù)值域的一種重要方法，直接利用函數(shù)圖象可解決部分較直觀函數(shù)的值域問題，本文并非單純利用數(shù)形結(jié)合去求函數(shù)值域，而是通過具體題目結(jié)合相關(guān)方法對函數(shù)式進(jìn)行兩點(diǎn)距離、斜率、截距、向量等的轉(zhuǎn)化，繼而利用數(shù)形結(jié)合解決一部分函數(shù)的值域問題.本文所涉及的函數(shù)主要是部分無理函數(shù).

Ⅰ. 構(gòu)造兩點(diǎn)距離：利用兩點(diǎn)距離公式d=，構(gòu)造兩點(diǎn)距離.

例1對x∈R，確定y=-的值域.

解：將原函數(shù)變形得：y=-，這表示x軸上的點(diǎn)P（x，0）到兩定點(diǎn)A（-1，）、B（1，）的距離之差.由于AB平行于x軸，不論P(yáng)在x軸何位置總可構(gòu)成△PAB（見圖1），而||PA|-|PB||＜|AB|，即y＜2，故函數(shù)的值域?yàn)椋?2，2）.

小結(jié)：本例AB平行于x軸，較為特殊.其實(shí)只要兩個根式下的x2項(xiàng)系數(shù)相同，其他項(xiàng)的系數(shù)可以任意.如y=-，此時(shí)所得的線段AB可能不平行于x軸，但仍可以應(yīng)用例1中的轉(zhuǎn)化方法得出相應(yīng)結(jié)論.

Ⅱ. 斜率轉(zhuǎn)換：利用斜率公式k=將函數(shù)解析式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，繼而求解.

例2求函數(shù)y=4x+2的值域.

解：令x=secα，α∈[0，]∪[π，]，則y=.再令y=２Y，則Y=.

它的幾何意義為定點(diǎn)A（0，-2）與位于一、三象限的單位圓上的動點(diǎn)P（cosα，sinα）連線的斜率，此斜率的范圍即Ｙ的值域（見圖2）.由圖2可知：kAB=2，當(dāng)P∈時(shí)，kAＢ最小.作ＡＴ⊥⊙Ｏ于Ｔ，kAＴ＝－，當(dāng)Ｐ∈時(shí)，kＡＴ最大.即2≤Y＜+∞或-∞＜Y≤-.

∴ 4≤y＜+∞或-∞＜y≤-6，

∴ 原函數(shù)值域?yàn)椋?∞，-6]∪[4，+∞）.

小結(jié)：本例中的點(diǎn)A在單位圓之外，顯然，點(diǎn)A在單位圓內(nèi)時(shí)該方法失效.類似的，在完成第一步轉(zhuǎn)化之后，只要所得函數(shù)形式為y=，而該式只要令y=Y，就可以轉(zhuǎn)化為Y=的形式，進(jìn)而可利用斜率求解.

Ⅲ. 利用向量：對形如y=m+n，其中g(shù)（x）+f（x）=c，m，n＞0的函數(shù)，可構(gòu)造向量的數(shù)量積來求解.要求y=m+n值域，可構(gòu)造向量=（m，n），=（，），則原函數(shù)等價(jià)于y=·=||||cos＜，＞，此式中||，||都為定值，于是只需求出cos＜，＞的范圍，而＜，＞的大小情況可結(jié)合，的幾何意義來得到.

例3 求y=+的值域.

解：令a=（1，1），=（，），則|a|=，||=1.記f=，g=，則f 2+g 2=1（f，g≥0），由此知 的終點(diǎn)落在以（0，0）為圓心，以1為半徑的第一象限的圓弧上（見圖３）.由圖３易知：＜，＞∈[0，arctan1]=０，，cos＜，＞

∈，１，所以y=·=||||cos＜，＞∈１，.