數形結合在求無理函數值域中的應用

〔關鍵詞〕 數形結合；無理函數；值域；兩點距離公式；斜率；截距

〔中圖分類號〕 G633.63〔文獻標識碼〕 Ｃ

〔文章編號〕 1004—0463（2008）10（Ａ）—005６—０1

求函數值域的問題是中學數學教學中的一個基本問題.由于求函數值域的方法較多、涉及的知識面較廣、題型靈活多變，而各種方法又常常互相滲透，所以在中學數學教學中，求函數值域的問題一直是一個難點.因此，教師應總結和探討求函數值域的方法和技巧，以提高學生的應變能力.

數形結合是求函數值域的一種重要方法，直接利用函數圖象可解決部分較直觀函數的值域問題，本文并非單純利用數形結合去求函數值域，而是通過具體題目結合相關方法對函數式進行兩點距離、斜率、截距、向量等的轉化，繼而利用數形結合解決一部分函數的值域問題.本文所涉及的函數主要是部分無理函數.

Ⅰ. 構造兩點距離：利用兩點距離公式d=，構造兩點距離.

例1對x∈R，確定y=-的值域.

解：將原函數變形得：y=-，這表示x軸上的點P（x，0）到兩定點A（-1，）、B（1，）的距離之差.由于AB平行于x軸，不論P在x軸何位置總可構成△PAB（見圖1），而||PA|-|PB||＜|AB|，即y＜2，故函數的值域為（-2，2）.

小結：本例AB平行于x軸，較為特殊.其實只要兩個根式下的x2項系數相同，其他項的系數可以任意.如y=-，此時所得的線段AB可能不平行于x軸，但仍可以應用例1中的轉化方法得出相應結論.

Ⅱ. 斜率轉換：利用斜率公式k=將函數解析式進行轉化，繼而求解.

例2求函數y=4x+2的值域.

解：令x=secα，α∈[0，]∪[π，]，則y=.再令y=２Y，則Y=.

它的幾何意義為定點A（0，-2）與位于一、三象限的單位圓上的動點P（cosα，sinα）連線的斜率，此斜率的范圍即Ｙ的值域（見圖2）.由圖2可知：kAB=2，當P∈時，kAＢ最小.作ＡＴ⊥⊙Ｏ于Ｔ，kAＴ＝－，當Ｐ∈時，kＡＴ最大.即2≤Y＜+∞或-∞＜Y≤-.

∴ 4≤y＜+∞或-∞＜y≤-6，

∴ 原函數值域為（-∞，-6]∪[4，+∞）.

小結：本例中的點A在單位圓之外，顯然，點A在單位圓內時該方法失效.類似的，在完成第一步轉化之后，只要所得函數形式為y=，而該式只要令y=Y，就可以轉化為Y=的形式，進而可利用斜率求解.

Ⅲ. 利用向量：對形如y=m+n，其中g（x）+f（x）=c，m，n＞0的函數，可構造向量的數量積來求解.要求y=m+n值域，可構造向量=（m，n），=（，），則原函數等價于y=·=||||cos＜，＞，此式中||，||都為定值，于是只需求出cos＜，＞的范圍，而＜，＞的大小情況可結合，的幾何意義來得到.

例3 求y=+的值域.

解：令a=（1，1），=（，），則|a|=，||=1.記f=，g=，則f 2+g 2=1（f，g≥0），由此知 的終點落在以（0，0）為圓心，以1為半徑的第一象限的圓弧上（見圖３）.由圖３易知：＜，＞∈[0，arctan1]=０，，cos＜，＞

∈，１，所以y=·=||||cos＜，＞∈１，.