計算三角形面積的三種方法

〔關鍵詞〕 三角形面積；面積的比；邊的比

〔中圖分類號〕 G633.63〔文獻標識碼〕 Ｃ

〔文章編號〕 1004—0463（2008）10（Ａ）—0057—０1

三角形面積的計算是初中數學競賽中常見的題目，下面，本文例舉了三種三角形面積的計算方法供同仁們參考.

一、面積的比＝邊的比

定理１：如圖1，在△ABC中，D為邊BC上的任意一點，則S△ABD∶S△ADC∶S△ABC=BD∶DC∶BC.

例1如圖2，過Q點的三條直線AA'、BB'、CC'把△ABC分成六個小三角形，已知S△AQB'=S△BQA'=4，S△CQA'=3.則求X= S△AQC'，Y= S△BQC'，Z=S△CQB'的值 .（第十屆“五羊杯”初數賽）

解：∵ ＝＝，∴ ＝.

由比例性質有＝.（1）

同理由＝＝，得=.（2）

由＝＝，得=.（3）

由（1）（2）消去X+Y并整理得：Z2+4Ｚ-21=0，解得Z1=-7（舍），Z2=3.

當Z=3時，由（2）有X+Y=，由（3）有X=Y.

∴ X=Y=.

二、面積的比=邊的比×邊的比

定理２：如圖3，若D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的任意點，且=k1，=k2 .則=＝k1·k2 .

例2：如圖4所示，△ABC中，點P在邊AB上，AP=AB；點Q在邊BC上，BQ=BC；點R在邊CA上，CR=CA.已知△PQR的陰影面積是19平方厘米，那么△ABC的面積是平方厘米.（第八屆“希望杯”初一第二試）

解：由已知得=，=，=.

∴ =，=，=.

=·=，=·=，=·=.

∴ =1-（＋＋）＝.

∴ S△ABC=S△PQR=45.6（平方厘米）.

三、相似三角形面積的比=對應邊比的平方

例3：如圖5所示，過P點的三條直線MN、IJ、EF分別平行于△ABC的三邊，把△ABC分成三個三角形和三個平行四邊形，其中三個圖形的面積是：S△IMP=9，S?荀BFPM=42，S?荀CNＰJ=70，則S△ABC=.（第十屆“五羊杯”初數賽）

解：連結PA、PB、PC，則S△PBM=S△PBF=21，S△ＰJC=S△ＰNC=35.

∴ ==.而MN∥BC，

∴ =，且△IMP∽△PFJ.

∴ =（）２=.又S△IMP=9，

∴ S△PFJ=49.

∵ ＝=，∴=.

而△IMP∽EＰN，∴ =（）２=，

∴ S△EPN=25.

∵ ＝=，∴=.

而S△PEC=S△PEN+S△PNC=25+35=60.

∴ S△PAE=15，S?荀PIAE=30.

∴ S△ABC=30+9+25+42+49+70=225.