求反函數時需要弄清楚的幾個問題

〔關鍵詞〕 反函數；定義域；值域；分段函數；復合函數

〔中圖分類號〕 G633.62〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2008）10（Ａ）—0063—０1

反函數的概念以及求反函數的方法是高中數學教學的重點和難點.那么，怎樣才能掌握好它呢？本人根據多年的教學經驗認為，學習反函數時需要弄清楚以下幾個問題.

一、互為反函數的兩個函數間的關系

二、函數y=f（x），y=f-1（x），x=f-1（y）之間的關系

三、求反函數的三個步驟

1. 反解：將y=f（x）看作方程，解出x=f-1（y）；

2. 交換：將x=f-1（y）中的x與y互換位置，得出y=f-1（x）；

3. 寫出定義域：由y=f（x）的值域，確定y=f-1（x）的定義域.

四、注明原函數定義域時，反函數的求法

例1：求函數y=x2+2x-4（x＞2）的反函數.

解析：由y=x2+2x-4=（x+1）2-5得（x+1）2=y+5.

∵ x＞2，∴ x+1＞3.

∴ x+1=，∴ x=-1.

故所求函數的反函數為y=-1（x＞4）.

五、未注明原函數定義域時，反函數的求法

例2：求函數y=log3 x的反函數.

解：由y=log3 x知其定義域為（0，+∞），值域為R.

∵ y=log3 x，∴ x=3y.故所求函數的反函數為y=3x.

注：當未注明原函數的定義域時，原函數的存在域即為其定義域.

六、分段函數的反函數的求法

例3：求函數y=x2-6（0≤x≤2）x2（-2≤x＜0）的反函數.

解析：求分段函數的反函數，應先求出每一段上函數的反函數，再合成一個函數.分段函數的反函數也是一個分段函數.

函數y=x2-6（0≤x≤2）的值域為[-6，-2]，解出x得x=.

∴函數y=x2-6（0≤x≤2）的反函數是y=（-6≤x≤-2）.

又函數y=x2（-2≤x＜0）的值域為（0，4]，解出x，得x=-（0＜y≤4），∴ y=x2（-2≤x＜0）的反函數為y=-（0＜x≤4）.

故所求函數的反函數為y=（-6≤x≤-2），-（0 ＜x ≤4）.

七、復合函數的反函數的求法

例4：已知f（）=，求f-1（）.

解法1：令u=，則x=3u，∴ f（u）==，∴ f（x）==2+. ∵ f（x）≠2，∴ f-1（x）=（x≠2），∴ f-1（）==（x≠6）.

解法2：∵ f（）==， ∴ f（x）==2+（f（x）≠2）. ∴f-1（x）=（x≠2），

∴ f-1（）==（x≠6）.

八、抽象函數的反函數的求法

例5：已知函數y=f（x）的反函數為f-1（x），求函數y=2+3f（2+x）的反函數.

解析：由反函數的定義可知，函數y=f（x）的反函數就是從式子y=f（x）中解出x，即得到x=f-1（y）.因此當f（x）中的“x”用某一個代數式t=Φ（x）代替后，則從y=f（Φ（x））中解出Φ（x），即得Φ（x）=f-1（y），由此可求出反函數.

∵函數y=f（x）的反函數為f-1（x）. ∴由y=2+3f（2+x）得f（2+x）=，即2+x = f-1（），即x = f-1（）-2.

故所求函數的反函數為y=f-1（）-2.