帶電粒子有界磁場中運動的極值

〔關鍵詞〕 帶電粒子；有界磁場；極值

〔中圖分類號〕 G633.７〔文獻標識碼〕 Ｃ

〔文章編號〕 1004—0463（2008）10（Ａ）—005８—０1

當帶電粒子在有界磁場中運動時，通常不能做完整的圓周運動，解決此類問題必須借助空間形象思維，綜合數理知識，尤其是平面幾何中圓的有關知識.在涉及到空間距離、粒子的速度、粒子運動時間等問題時，公式R=及t=是解決問題的出發點，而借助幾何工具，作幾何圖形則是解決問題的關鍵所在，尤其v⊥R的關系是作圖的重要依據，由于磁場的有界性，此類問題通常對應有極值存在.

一、帶電粒子運動時間有極值

如圖一.在x軸上方存在著垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，在原點O有一離子源向x軸及上方各個方向發射出質量為m、電量為q的正離子，速率為v0，離子重力不計，若磁場的寬度為d=，試求：

①對那些不能到達x軸的離子在磁場中運動的最短時間；

②對那些能夠到達x軸的離子在磁場中運動的最長時間.

解析：①帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，其軌道半徑由Bqv0=得R=.所有離子做圓周運動的圓心分布在以O點為圓心、以R為半徑的半圓周上，如圖二所示.顯然，離子能否到達x軸取決于離子的入射方向，對于不能到達x軸的離子，飛行時間越短的，對應的圓弧長及弦長也越短，因為t=Ｔ＝∝s，顯然圖二中從M點射出的粒子運動時間最短，對應的圓心在O'點.

設從M點射出的離子入射時與x軸夾角為θ，則有：cosθ===.故θ=37°.

故tmin=·T=·.

②要使離子能到達x軸，粒子跟磁場上邊界相切時，對應飛行時間最長，如圖三所示.此時離子做圓周運動的圓心在O''點，由幾何關系可知圖中OO''NQ為菱形，圖中直線EF為距離x軸R=的直線，設此時入射粒子與x軸夾角為θ，則有cosθ==，θ=53°.

故tmin=·T=·.

二、粒子入射速度有極值

如圖四.圓形磁場的半徑為R，磁感應強度為B，方向垂直紙面向里，從Q點向圓心O以不同速率射出質量為m、電量為q的正離子，EF是與圓形磁場的直徑GN垂直放置的標尺，其上涂有熒光物質，現觀察到標尺上HP段發出熒光，入射離子的速度在什么范圍內？（已知∠HOP=30°）

解析：標尺上HP段發出熒光，說明粒子射出磁場的范圍在MN范圍內，從N點射出的粒子對應入射速度最大，從M點射出的粒子對應入射速度最小.由圖五可知，從N點射出的粒子做圓周運動的軌道半徑與磁場的半徑相等，即R=，vm=.設從M點射出的粒子的軌道半徑為r，則有：cos30°=，∴r=R，又r=.故vmin==故入射粒子速度范圍為：≤v≤.

三、粒子射出磁場的位置及粒子的偏轉角度有極值

如圖五.磁場分布在條形區域aa'bb'范圍內，放射源S可以向各個方向均勻射出初速度相同的帶電粒子，粒子從bb'射出位置也存在極值.顯然，M點為射出磁場的最高位置，N點為射出磁場的最低位置.

同理，粒子射出有界磁場的偏轉角度也存在極值問題.如圖六.當粒子沿y軸射入磁場時，若粒子做圓周運動的軌道半徑大于圓形磁場的半徑，顯然，當R=r時粒子的偏轉角度最大.