對共線問題的探索

〔關(guān)鍵詞〕 共點(diǎn)；共線；平分；對稱軸

〔中圖分類號〕 G633.63〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2008）09（B）—0027—01

[命題]四條射線共點(diǎn)，若兩條直線同時(shí)平分不相鄰的兩角且兩條直線互相垂直，那么四射線中不相鄰的兩條共線.

[證明]已知：如圖1，有四條射線OA、OB、OC、OD，O為公共點(diǎn)，L1平分∠AOB與∠COD，L2平分∠AOD與∠BOC，且L1⊥L2 .

求證：A、O、C三點(diǎn)共線，B、O、D三點(diǎn)共線.

證明：如圖， ∵ L1平分∠AOB，L2平分∠AOD，

∴∠7=∠8，∠1=∠2.又L1⊥L2，∴∠1+∠8=90°.

又∠1+∠2+∠7+∠8

=2∠1+2∠8=2（∠1+∠8）=2×90°=180°.

∴B、O、D三點(diǎn)共線.

同理可證A、O、C三點(diǎn)共線.

[應(yīng)用]例1如圖2，在Rt△ABC中∠A=90°，AB=AC，M為AC的中點(diǎn).AE⊥BM于E，交BC于D.求證∠AME=∠CMD.

證明：如圖，以AC為對稱軸作Rt△ABC關(guān)于AC的對稱三角形△AB′C，過M作BB′的平行線FH，交BC于F，交CB′于H.

由對稱性知：∠1=∠2、∠3=∠4、∠BMD=∠B′MH，由FH∥BB′知∠5=∠6、∠7=∠8、AC⊥FH.

綜上可知：D、M、B′共線，B、M、D共線.

即∠3=∠1=∠2，

∴ ∠AME=∠CMD.

例2：已知△ABC為等腰三角形，∠A=20°，點(diǎn)M、N是AB、AC上的點(diǎn).連接MC、NB使∠MCB=60°、∠NBC=50°，MC、NC交于O.

求：∠NMC的度數(shù).

解：如圖3，∵△ABC 是等腰三角形，∠A=20°，

∴∠ABC=∠ACB=80°.

又∵∠MCB=60°，∠NBC=50°，

∴∠BNC=50°，∠CMB=40°，∠AMC=140°，∠MCA=20°.

∴△AMC為等腰三角形.

以AC為對稱軸作△AMC的對稱△AM′C，再作BN和CM的交點(diǎn)O的對稱點(diǎn)O′，連接NM′、NO′、MM′.過N作EE′∥MM′交CM于E、CM′于E′.

由對稱性知：∠MNA=∠M′NA，∠MNO = ∠M′NO′，

∠ONC=∠O′NC，AC同時(shí)平分∠MNM′和∠ONO′；

由EE′∥MM′知EE′同時(shí)平分∠MNO和∠MNO′；

由EE′∥MM′、MM′⊥AC知AC⊥EE′.

綜上可知：B、N、M′三點(diǎn)共線，M、N、O′三點(diǎn)共線.

∴∠BNC=∠ANM′=∠ANM=50°，∠NMM′=40°.

∴∠NMC=180°-∠BMC-∠NMM′-∠AMM′

=180°-40°-40°-70°

=30°.